В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов. Изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = tQ является случайной величиной X(t ). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией .

Рис. 4. Вид случайных функций

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t (рис. 4) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения:

где p(x, t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m (t).

Корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными . Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями:

Математическое ожидание постоянно;

Дисперсия по сечениям является постоянной величиной;

Корреляционная функция зависит не от значения аргументов, а только от промежутка.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(w), которая описывает частотный состав случайного процесса при w>О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты. Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах.

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.

Для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика, однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа-задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик- погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик-статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

Совокупность формул, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, полученных в рамках выбранных физических моделей на основе законов физики, будем называть математической моделью объекта или процесса . Процесс создания математической модели можно разделить на ряд этапов:

1) составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов в рамках построенной физической модели. Этап включает запись в математических терминах сформулированных свойств объектов, процессов и связей между ними;

2) исследование математических задач, к которым приходят на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение численных данных и теоретических следствий. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

3) выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений или следствия из них с результатами наблюдений в пределах точности последних, т.е. удовлетворяет ли принятая физическая и (или) математическая модель практике-основному критерию истинности наших представлений об окружающем мире.

Отклонение результатов расчетов от результатов наблюдений свидетельствует либо о неправильности применяемых математических методов анализа и расчета, либо о неверности принятой физической модели. Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.

Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики или связи между параметрами остаются неопределенными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например, оказывается, что число уравнений, описывающих физические свойства объекта или процесса и связи между объектами, меньше числа физических параметров, характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные соотношения, характеризующие объект исследования и его свойства, иногда даже пытаться угадать эти свойства, для того, чтобы задача могла быть решена и результаты соответствовали результатам опыта в пределах заданной погрешности.

2.3. Элементы процесса измерений

2.4. Основные этапы измерений

2.5. Постулаты теории измерений

2.6. Классификация измерений

2.7. Понятие об испытании и контроле

Глава 3. Теория воспроизведения

3.2. Принципы построения систем единиц физических величин

3.3. Международная система единиц (система си)

3.4. Воспроизведение единиц физических величин и передача их размеров

3.4.1. Понятие о единстве измерений

3.4.2. Эталоны, единиц физических величин

3.4.3. Поверочные схемы

3.4.4. Способы поверки средств измерений

3.4.5. Стандартные образцы

3.5. Эталоны единиц системы си

Глава 4. Основные понятия теории погрешностей

4.1. Классификация погрешностей

4.2. Принципы оценивания погрешностей

4.3. Математические модели и характеристики погрешностей

4.4. Погрешность и неопределенность

4.5. Правила округления результатов измерений

Глава 5. Систематические погрешности

5.1. Систематические погрешности и их классификация

5.2. Способы обнаружения и убтранения систематических погрешностей

Глава 6. Случайные погрешности

6.1. Вероятностное описание случайных погрешностей

6.2. Числовые параметры законов распределения

6.2.1. Общие сведения

6.2.2. Понятие центра распределения

6.2.3. Моменты распределений

6.2.4. Энтропийное значение погрешности

6.3. Основные законы распределения

6.3.1. Общие сведения

6.3.2. Трапецеидальные распределения

6.3.3. Экспоненциальные распределения

6.3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

6.3.5. Уплощенные распределения

6.3.6. Семейство распределений Стъюдента

6.3.7. Двухмодальные распределения

6.4. Точечные оценки законов распределения

6.5. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Глава 7. Грубые погрешности и методы их исключения

7.1. Понятие о грубых погрешностях

7.2. Критерии исключения грубых погрешностей

Глава 8. Обработка результатов измерений

8.1. Прямые многократные измерения

8.1,1. Равноточные измерения

8.1.2. Идентификация формы распределения результатов измерений

8.2. Однократные измерения

8.3. Косвенные измерения

8.4. Совместные и совокупные измерения

Глава 9. Суммирование погрешностей

9.1. Основы теории суммирования погрешностей

9.2. Суммирование систематических погрешностей

9.3. Суммирование случайных погрешностей

9.4. Суммирование систематических и случайных погрешностей

9.5. Критерий ничтожно малой погрешности

Глава 10. Измерительные сигналы

10.1. Классификация сигналов

10.1.1. Классификация измерительных сигналов

10.1.2. Классификация помех

10.2. Математическое описание измерительных сигналов

10.3. Математические модели элементарных измерительных сигналов

10.4. Математические модели сложных измерительных сигналов

10.5. Квантование и дискретизация измерительных сигналов

10.6. Интегральные параметры периодического сигнала

Глава 11. Средства измерений

11.1. Понятие о средстве измерений

11.2. Статические характеристики и параметры средств измерений

11.3. Динамические характеристики и параметры средств измерений

11.4. Классификация средств измерений

11.5. Элементарные средства измерений

11.6. Комплексные средства измерений

11.6.1. Измерительные приборы и установки

11.6.2. Измерительные системы и измерительно-вычислительные комплексы

11.7. Моделирование средств измерений

11.7.1. Структурные элементы и схемы средств измерений

11.7.2. Структурная схема прямого преобразования

11.7.3. Уравновешивающее преобразование

11.7.4. Расчет измерительных каналов средств измерений

Глава 12. Метрологические

12.2. Метрологические характеристики, предназначенные для определения результатов измерений

12.3. Метрологические характеристики погрешностей средств измерений

12.4. Характеристики чувствительности средств

Измерений к влияющим величинам.

Неинформативные параметры выходного

Сигнала

12.5. Нормирование динамических характеристик средств измерений

12.6. Метрологические характеристики влияния на инструментальную составляющую погрешности измерения

12.7. Комплексы нормируемых метрологических характеристик средств измерений

12.8. Расчет погрешностей средств измерений по нормированным метрологическим характеристикам

12.9. Классы точности средств измерений

Глава 13. Метрологическая надежность средств измерений

13.1. Основные понятия теории метрологической надежности

13.2. Изменение метрологических характеристик средств измерений в процессе эксплуатации

13.3. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений

13.3.1. Линейная модель изменения погрешности

13.3.2. Экспоненциальная модель изменения погрешности

13.3.3. Логистическая модель изменения погрешности

13.4. Показатели метрологической надежности средств измерений

13.5. Метрологическая надежность и межповерочные интервалы

Заключение

Приложение 1. Статистические таблицы

Приложение 2. Список основных государственных стандартов и нормативных документов в области метрологии

Приложение 3. Рабочая программа по курсу "Теоретическая метрология" специальности 190800 "Метрология и метрологическое обеспечение"

Тема 1. Предмет и задачи метрологии

Тема 2. Основные представления теоретической метрологии

Тема 3. Теория воспроизведения единиц физических величин и передачи их размеров (теория единства измерений)

Тема 4. Погрешности измерений

Тема 5. Систематические погрешности

Тема 6. Случайные погрешности

Тема 7. Грубые погрешности и методы их исключения

Тема 8. Обработка результатов измерений

Тема 9. Суммирование погрешностей

Тема 10. Измерительные сигналы

Тема 11. Средства измерений

Тема 12. Метрологическая служба Российской Федерации

Литература

Глава 1. Предмет и задачи метрологии 6

Глава 2. Основные представления 15

Глава 3. Теория воспроизведения 55

Глава 4. Основные понятия теории 87

Глава 5. Систематические погрешности 105

Глава 6. Случайные погрешности 118

Глава 7. Грубые погрешности 143

Глава 12. Метрологические 266

Глава 13. Метрологическая надежность средств измерений 292

105318, Москва, Измайловское ш., 4

432980, Г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14

4.3. Математические модели и характеристики погрешностей

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов . Без этого невозможно решение большого числа практических метрологических задач. Прежде чем перейти к рассмотрению математических моделей погрешностей измерений, кратко изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = t Q является случайной величиной X(t 0). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией. При проведении серии опытов можно получить группу или семейство реализаций случайной функции (рис. 4.5). Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на основе которого можно получить его характеристики и параметры.

Рис. 4.5. Вид случайных функций

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t 0 (см. рис. 4.5) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t Q . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Наиболее полно случайные процессы описываются законами распределения: одномерным, двумерным и т.д. Однако оперировать с такими, в общем случае многомерными функциями очень сложно, поэтому в инженерных приложениях, каковым является метрология, стараются обойтись характеристиками и параметрами этих законов, которые описывают случайные процессы не полностью, а частично. Характеристики случайных процессов, в отличие от характеристик случайных величин, которые подробно рассмотрены в гл. 6, являются не числами, а функциями. К важнейшим из них относятся математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции X (t )

которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения. Здесь p(x,t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).Таким образом, математическое ожидание в данном случае является средней функцией, вокруг которой группируются конкретные реализации.

Дисперсией случайной функции X (t ) называется неслучайная функция

значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m x (t).

Математическое ожидание случайного процесса и его дисперсия являются весьма важными, но не исчерпывающими характеристиками, так как определяются только одномерным законом распределения. Они не могут характеризовать взаимосвязь между различными сечениями случайного процесса при различных значениях времени t и t". Для этого используется корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

На пpaктике часто используется нормированная корреляционная функция

Она обладает следующими свойствами: 1) при равенстве аргументов t и t" r(t,t") = 1; 2) симметрична относительно своих аргументов: r(t,t") = r(t",t); 3) ее возможные значения лежат в диапазоне [-1; 1], т.е. |r(t,t")| < 1. Нормированная корреляционная функция по смыслу аналогична коэффициенту корреляции между случайными величинами, но зависит от двух аргументов и не является постоянной величиной.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными. Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями.

Математическое ожидание стационарного процесса постоянно, т.е.

m (t) = m x = const. Однако это требование не является существенным, поскольку от случайной функции X(t) всегда можно перейти к центрированной функции, для которой математическое ожидание равно нулю. Отсюда вытекает, что если случайный процесс нестационарен только за счет переменного во времени (по сечениям) математического ожидания, то операцией центрирования его всегда можно свести к стационарному.

Для стационарного случайного процесса Дисперсия по сечениям является постоянной величиной, т.е. D x (t) = D x = const.

Корреляционная функция стационарного процесса зависит не от значения аргументов t и t", а только от промежутка  = t" - t, т.е. R(t,t") = R(). Предыдущее условие является частным случаем данного условия, т.е. D x (t) = R(t,t) = R( = 0) = const.

Таким образом, зависимость автокорреляционной функции только от интервала  является единственным существенным условием стационарности случайного процесса.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(), которая описывает частотный состав случайного процесса при  > О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты S()  0. Площадь, заключенная под кривой S(), пропорциональна дисперсии процесса.

Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

Стационарные случайные процессы могут обладать или не обладать свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его реализация достаточной продолжительности является как бы "полномочным представителем" всей совокупности реализаций процесса. В таких процессах любая реализация рано или поздно пройдет через любое состояние независимо от того, в каком состоянии находился этот процесс в начальный момент времени.

Для эргодического стационарного случайного процесса его математическое ожидание может быть определено из выражения

Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного случайного процесса X(t) по математическому ожиданию - является выполнение условия

Дисперсия эргодического процесса может быть найдена по формуле

Достаточным условием выполнения этого равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по дисперсии - является

, где R Y () - корреляционная функция стационарного случайного процесса Y(t) = 2 .

Корреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса может быть определена по формуле

Достаточным условием выполнения последнего равенства - эргодичности стационарного процесса X(t) по корреляционной функции - является

, где R Z () - корреляционная функция стационарного случайного процесса Z (t, ) = X(t) X(t + ).

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах. Модели для измерений, проводимых различными методами и средствами, могут существенно различаться.

В общем случае абсолютную погрешность измерения Д(1) следует представлять в виде суммы нескольких составляющих:

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.̊

Систематическая составляющая ̊(t) представляет собой нестационарную случайную функцию, описывающую постоянную или инфра-низкочастотную погрешность, причины возникновения которой могут быть различными. Периоды изменения составляющих систематической погрешности значительно больше времени, необходимого для проведения измерения. Поэтому погрешность \(t ) условно принимается за постоянную и для ее учета применяются математические методы, разработанные для неизменных во времени и от измерения к измерению погрешностей, значения которых неизвестны.

Составляющая ̊(t) является случайной и имеет широкий частотный спектр. Периоды изменения составляющих этой погрешности меньше или сравнимы со временем измерения. Она может быть разделена на две составляющие: ̊ 0в (t) и ̊ 0н (t), которые являются стационарными случайными функциями времени с различными частотными спектрами - высокочастотным и низкочастотным соответственно. Автокорреляционная функция высокочастотной составляющей погрешности затухает в течение времени, значительно меньшего времени измерения. Для низкочастотной составляющей автокорреляционная функция затухает до нуля в течение времени, большего времени отдельного измерения. Такое различие в поведении этих составляющих обуславливает их выделение и применение к ним различных методик обработки.

Составляющая ̊ 0 является центрированной случайной величиной, не зависящей от времени, но изменяющейся от измерения к измерению. Величины ̊ 0в (t) и ̊ 0 могут быть объединены в одну стационарную центрированную функцию ̊(t). Ее автокорреляционная функция затухает на интервале времени, который меньше времени проведения всего измерения, но существенно больше интервала времени, необходимого для одного измерения. В связи с этим математическая модель погрешности измерения может быть записана в виде

Отдельные составляющие этого уравнения могут отсутствовать при моделировании погрешности конкретного измерения. Так, зачастую нет необходимости учитывать высокочастотную составляющую погрешности измерения.

Эффективное использование рассмотренной модели погрешности измерения возможно только при известном частотном спектре ее составляющих. Однако данное условие весьма трудно выполнить на практике, и поэтому часто случайная погрешность измерения описывается не случайной функцией, а представляется еще в более упрощенном виде, а именно в виде случайной величины. При этом для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

С учетом этих ограничений процесс появления случайных погрешностей результатов измерений за вычетом систематических и прогрессирующих погрешностей обычно может рассматриваться как центрированный стационарный случайный процесс. Его описание возможно на основе теории статистически независимых случайных величин и стационарных случайных процессов.

При выполнении измерений требуется количественно оценить погрешность. Для такой оценки необходимо знать определенные характеристики и параметры модели погрешности. Их номенклатура зависит от вида модели и требований к оцениваемой погрешности. В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа - задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик - погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик - статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

В качестве характеристик случайной погрешности используют СКО случайной составляющей погрешности измерений и, если необходимо, ее нормализованную автокорреляционную функцию.

Систематическая составляющая погрешности измерений характеризуется:

СКО неисключенной систематической составляющей погрешности измерений;

Границами, в которых неисключенная систематическая составляющая погрешности измерений находится с заданной вероятностью (в частности, и с вероятностью, равной единице).

Требования к характеристикам погрешности и рекомендации по их выбору приведены в нормативном документе МИ 1317-86 "ГСИ. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров".

Требования к моделям, описывающим погрешности измерений

Модели погрешностей измерений

Требования:

1.должна отражать существенные метрологические свойства средства измерения или методики выполнения измерения,

2.обеспечивать решение практических задач, в которых используются результаты измерений;

3. количественную оценку погрешности;

5.корректировать показания средства измерения и вносить поправки в результаты измерений для уменьшений погрешностей;

6.определять вероятность безотказной работы средства измерения в течение определенного интервала времени;

7. должна учитывать производственные и эксплуатационные допуски на значения метрологических характеристик.

Чем более жесткие требования предъявляются к модели, тем детальнее должны быть сделаны выводы по результатам измерений, тем сложнее должна быть структура модели погрешности.

Вид математической модели погрешностей выбирают на основании:

Теоретического или экспериментального исследования методов и средств измерений;

Анализа статистических данных о влияющих на результаты величинах, c учетом условий измерений.

При решении практических метрологических задач можно использовать одну и ту же модель как для описания и оценки результатов измерений, так и их погрешностей.

Наиболее часто используемые модели, описывающие погрешности:

Погрешность измерения является функцией времени . При монотонном изменении погрешности наиболее простым описанием характера ее изменения является аппроксимация погрешности монотонной функцией времени

Где - монотонная неслучайная функция времени;

Z – случайная величина.

Если данная модель используется для оценки погрешностей однотипных средств измерения, то

случайная составляющая позволяет учесть различие погрешностей для каждого отдельного средства измерения, и разброс погрешностей под влиянием различных условий.

Если модель используется для описания погрешностей одного и того же средства измерения, случайная составляющая позволяет учитывать, что погрешности принимают различные значения при различных сочетаниях влияющих факторов.

Наиболее удобными монотонными случайными функциями, которые позволяют описывать погрешности, являются

ЛИНЕЙНЫЕ!!!

Линейно- равномерные;

И линейно-веерные функции (рис.30).

Линейно- равномерные функции вида включают случайную часть , т.е. отдельные реализации величины а и монотонную неслучайную составляющую .

В линейно- веерных функцияхвеличина а является неслучайной, а слагаемое представляет собой отдельную реализацию случайной составляющей.

Обобщенной моделью погрешности в виде линейной функции может быть выражение , в котором А – начальное значение погрешности; В – скорость изменения погрешности.

Составляющие модели являются случайными обычно взаимно некоррелированными величинами.

НЕЛИНЕЙНЫЕ!!!

Также монотонными элементарными случайными функциями являются нелинейные веерные случайные функции времени (рис.31), например, экспоненциальные или степенные функции. На рис.31,а приведена модель погрешности, учитывающая уменьшение скорости изменения погрешности с течением времени и ее постепенное приближение к некоторому практически неизменному значению. На рис.31,b приведена модель, используемая в том случае, когда скорость изменения погрешности увеличивается и стремится к некоторому стационарному значению.

Такие модели могут быть использованы, например, когда погрешность вызывается двумя противоположно влияющими факторами, при этом один из них действует ограниченное время. Даже при неизменной скорости изменения погрешности для однотипных приборов в силу различия динамических технологических, физико-механических свойств (интенсивности износа, старения, изменения внешних факторов) модель представляется ансамблем реализаций.

В приведенных моделях аргументом может быть не только время, но и другие параметры, изменяющиеся монотонно.

Монотонная составляющая в модели погрешности может учитывать:

Изменение параметров источника питания, питающего измерительную схему прибора;

Старение элементов измерительной схемы;

Монотонно изменяющиеся во времени внешние влияющие факторы;

Постепенный износ элементов средства измерения и т.д.

Быстрые флуктуации ε (t) определяют случайную погрешность, ко­торую приближенно описывают эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. При проведении измерений с многократными наблюдениями эта составляющая проявляется в виде случайной величины, принимающей значения εi= ε (t i), взятые в моменты t i (i = 1,2,...,п) проведения наблюдений. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности являют­ся функции распределения. По известной дифференциальной функции распределения (плотности вероятности) ρ(ε) можно опре­делить вероятность пребывания случайной погрешности в заданных

границах от ∆ н до ∆ в:

Так как ε = х - X , где X - истинное, ах- измеренное значение изме­ряемой величины, то Р∆ = Р{х - ∆ вн < X < х + ∆ вн } (∆ вн - симметрич­ные границы интервала). Следовательно, вероятность Р∆ соответ­ствует вероятности пребывания истинного значения на интервале от х - ∆ вн до х + ∆ вн. Поскольку общая погрешность ∆ = Θ + ε, то ее плотность вероятности можно определить, сместив график ρ(ε) на Θ. В данном случае нижнюю ∆ н и верхнюю ∆ в границы интервала, в котором с вероятностью Р∆ лежит погрешность, выбирают симмет­рично относительно математического ожидания, поэтому I∆ Н I≠ ∆ е

4.10.4. Примеры законов распределения погрешностей

Для анализа результата измерений необходимо знать законы рас­пределения отдельных составляющих погрешности, по которым можно определить закон распределения общей погрешности и ре­шить вопрос о вычислении границ погрешностей. В некоторых слу­чаях удается оценить законы распределения составляющих по­грешности до проведения опыта на основе анализа причин их воз­никновения.

Равномерный закон. Этому закону подчи­нены погрешности, возникающие при кван­товании и дискретизации сигнала. Напри­мер, при измерении постоянного напряже­ния U x путем его сравнения с образцовым напряжением, изменяющимся по ступенча­тому закону с постоянным шагом Uст, ре­зультат измерений определяется числом n ступенек, зафиксированным с помощью электронного счетчика, и погрешностью квантования ∆U кв: U x = nUст - ∆U KB . Поскольку значение измеряемого напряжения неизвестно и нельзя указать область его предпочтительных значений, погрешность кван­тования считают распределенной по равномерному закону от 0 до Uст. Систематическая погрешность

График плотности вероятности случайной погрешности ε = ∆U кв – Θ получается смещением графика ρ(U KB) на Uct/2. Предельная по­грешность ∆п = Uct /2. СКО случайной погрешности

Для погрешностей, о которых ничего не известно, кроме их преде­лов, равномерный закон является удобной математической моде­лью, как дающий наибольшую погрешность измерений. Например, при анализе неисключенной систематической погрешности удается оценить лишь ее предельные значения ±Θ н. Закон распределения неисключеннойсистематической погрешности моделируют равно­мерным законом с СКО σ = Θ/√12. Согласно ГОСТ 8.009-84 равно­мерно распределенной считают погрешность из-за вариациипока­заний в пределах +Н/2с СКО σ =H√ 12 , где Н =IС б -С м I.

Например, при измерении временного интервала цифровым мето­дом, если начало измеряемого интервала не синхронизировано с последовательностью счетных импульсов, результат измерений T x =nT 0 -∆t H +∆t k =nT 0 -∆t д, где ∆t н и ∆t K погрешности дискретизации в начале и конце интервала Т х, ∆t д общая погрешность дискретиза­ции. Погрешности ∆t н и ∆t K подчинены равномерному закону с пре­дельными значениями 0 и Т 0 . Если интервал Т х не измерен, то случайные погрешности независимы, а закон распределения общей погрешности дискретизации ∆t д треугольный с предельными значе­ниями ±Т 0 .

Характеристики окружающей среды, в которой проводятся измере­ния, называют условиями измерений. Это климатические условия (температура, относительная влажность воздуха, атмосферное давление), электрические и магнитные поля, механические и аку­стические факторы (вибрации, ударные нагрузки, сотрясения), ио­низирующие излучения, газовый состав атмосферы и т.п. Так как они оказывают влияние на результат измерений, то для средств измерения в нормативно-технической документации всегда указы­ваются условия, в которых нормированы их метрологические ха­рактеристики.

Метрологические характеристики средств измерений нормируют раздельно для нормальных и рабочих условий применения.

4.12. Организация измерительного эксперимента

Измерение выполняется оптимально, если результат и желаемая точность достигнуты самыми простыми средствами и в соответст­вии с простейшей стратегией.

Подготовка включает уточнение задачи измерений, планирование измерительного эксперимента, выбор требуемых методов и техни­ческих средств, в том числе и вспомогательное оборудование (ис­точники питания, соединение с измеряемой средой, средства со­пряжения, средства подвода охладителя, если требуется и т.д.); калибровку механических и юстировку оптических приборов, гра­дуировку электронных средств.

В общем виде модель погрешности A 095 (i) может быть представлена в виде До9 5 (?) = До + F(t), где До - начальная погрешность СИ; F(t) - случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.

Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:

где v - скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования , данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лег. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.

Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис. 4.2, а , где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.

При метрологическом отказе погрешность Д 095 (?) превышает значение Д пр = До + Д 3 , где Д, - значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора, и его погрешность возвращается к исходному значению Д^ По прошествии времени Т? = t { - - t j _ l опять происходит отказ (моменты t u t 2 , t 3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис. 4.2, а, которая может быть представлена уравнением

где п - число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1

(см. рис. 4.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (4.2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности Л 095 (() при отсутствии отказов.

Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости V. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности Д 3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений Д 0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения V и запас погрешности Д, совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов - уровнем культуры ремонтной службы пользователя.

Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности Д 0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия До * (0,9-0,95) Д пр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса Д 3 , нормируемого по отношению к пределу Д пр.

Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают Д 3 = (0,4-0,5) Д пр, что при средней скорости старения V = 0,05 Д пр /год позволяет получать межремонтный интервал Г р = А 3 /и = 8-10 лет и частоту отказов со = 1/Гр = 0,1-0,125 год -1 .

При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.1) все межремонтные интерваты Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов со = 1 /Т будет постоянной в течение всего срока эксплуатации.