Циліндр як геометрична фігура. Предмети, що мають форму циліндра Які предмети схожі на циліндр

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасного вигляду. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми у повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх дві) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у випадку з прямим циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Модуль 1. Геометрія навколо нас

Вправа 4(За картинками).

Вчителю.Виберіть кілька картинок, на яких є зображення предметів циліндричної форми та покажіть учням.

Розгляньте картинки і знайдіть на них зображення предметів, схожих формою на фігури, що стоять на столі.

Завдання 1.

Запишіть назву капелюха, зображеного на малюнку ( циліндр). Чому капелюх називається так?

Питання: Як можна назвати фігури, що стоять на столі?

Фігури, що стоять на столі, називаються циліндрами.Циліндр має дві підставиі бічну поверхню.

Вчителю. У папці Малюнки є файл КІМНАТА з кольоровим зображенням цієї картинки.

Вправа 6.Зліпите з пластиліну три циліндри різної висоти. Поставте їх у ряд від найнижчого до найвищого. Виміряйте висоту кожного циліндра. Знайдіть різницю висот найвищого та найнижчого циліндра.

Завдання 3.Намалюйте тінь, яку відкидатиме циліндр, якщо на нього направити світло збоку.

Вчителю. Під час обговорення завдання необхідно дійти відповіді: тінь прямокутної форми (добре, якщо Ви продемонструєте це).

3. Конструкції із шашок. Шифри.

Спробуємо використовувати шашки по-іншому – збудуємо з них конструкції. Наприклад:

Вчителю. Побудуйте обов'язково ці конструкції на своєму столі (використовуйте поки що шашки одного кольору). Попросіть дітей побудувати такі ж конструкції у себе на столі.

Нам треба якось відображати у зошиті побудовану конструкцію. Які будуть пропозиції?

Вчителю. Очевидно, більшість учнів запропонують просто замалювати. Заперечіть їм, що кожен малює по-різному і може бути така ситуація, що одному учневі буде незрозуміло, що намалював інший. Потрібно придумати такий спосіб зображення конструкції, щоб усі розуміли яка конструкція і за її зображенням могли її побудувати.

Можливо, учні зможуть вийти на потрібну відповідь: дивитися на конструкцію зверху та малювати стовпці шашок колами, а на кожному колі записувати, скільки шашок коштує у цьому стовпці.

Але якщо такої ідеї не виникне, підведіть до неї послідовно, повертаючись до завдання 4.

1. Подивіться зверху на побудовані конструкції. Що ви бачите? ( кола).

2. Замалюйте, як розташовані видимі зверху кола кожної конструкції.

3. Чи можете сказати, скільки шашок коштує в кожному стовпчику конструкції? Як можна позначити на схемі кількість шашок у стовпчику? (Записати число, що дорівнює кількості шашок).

Катерина Іскаєва

Завдання: 1. Формувати уявлення про циліндр, вміння розпізнавати циліндр у предметах навколишнього оточення.

2. Закріплювати рахунок не більше 5, геометричні уявлення дітей, вміння знаходити загальні властивості предметів.

Матеріал:картинки із зображенням предметів циліндричної форми, циліндри різного діаметра та висоти, картки з «паспортом» циліндра, моделі циліндрів та кубик, цифри 1 – 5, набір геометричних фігур на кожну дитину.

1. Знайомство з циліндром та його властивостями.

Вихователь показує картинки предметів циліндричної форми: склянку, ковбасу, капелюх-циліндр, банку циліндричної форми, олівець, що клеїть.

Що спільного у всіх цих предметів ви помітили? (У всіх предметів схожа форма.)

Якщо дітям важко відповісти на це питання, можна поставити навідні питання: чи однаковий матеріал, з якого виготовлені ці предмети, їх колір, розмір, призначення.

Потім вихователь повідомляє дітям, що такі форми називаються циліндрами, і просить їх знайти циліндри своєму столі. Разом із циліндрами на столі повинні бути предмети та інших форм (наприклад, кулі, паралелепіпеда, конуса). Доцільно показати також картинки, у яких предмети циліндричної форми є елементами: гармата, будинок з колонами, дерево тощо.

Чи знаєте ви, чому циліндр так називається? Дуже давно, коли жодних машин ще не було, люди пересували важкі предмети за допомогою стволів дерев. Подумайте – як?

Вихователь дає дітям кілька циліндрів однакового діаметра (наприклад, олівці) та кубик і пропонує уявити, що кубик – це дуже важкий вантаж, який треба перемістити з одного кінця столу на інший, використовуючи циліндри. Після виконання завдання вихователь розповідає, що слово «циліндр» у перекладі з грецької – «ковзанка», «валик». Однією з його властивостей є те, що його можна котити.

Дітям пропонується розійтися групою і знайти предмети циліндричної форми.

Потім діти повертаються до столу, де стоять різні циліндри. Їм пропонується знайти фігури, однакові за якоюсь ознакою, і у відібраних фігур знайти ознаки відмінності. Наприклад, це можуть бути циліндри, рівні за висотою, але різні за товщиною, кольором, матеріалом, з якого вони зроблені (циліндри можна зробити з паперу, пластиліну, взяти пластмасові, металеві циліндри, дерев'яні олівці і т. д.)

2. Фізкультхвилинка: «Хто найуважніший?»

За командою «Вухо» діти повинні схопитися за вухо (можна ускладнити, кажучи «Праве вухо», за командою «Ніс» - за ніс. Вихователь виконує завдання разом із дітьми. Через деякий час починає навмисно помилятися та збивати дітей.

3. Гра: "Паспортний стіл".

У дітей на столах картки від 1 до 5. Вихователь пропонує їм розглянути фігури, виготовлені з пластиліну різних кольорів.

Діти відповідають питання вихователя:

Скільки фігур? (Показують цифру.)

Порахуйте від 1 до 5 та від 5 до 1.

Скільки циліндрів? (Хлопають у долоні.)

Чому ляснули 4 рази? (Друга фігура – ​​не циліндр.)

Чим друга фігура відрізняється від решти?

Після всіх міркувань діти приходять до висновку, що у циліндра з двох боків однакові кола, а друга фігура – ​​ні.

Вихователь ставить циліндр на стіл і просить дітей сісти так, щоб фігура була лише на рівні очей. Запитує дітей про те. що вони бачать як це можна замалювати. Потім повертає циліндр кілька разів і запитує дітей про те саме. В результаті обговорення дійдуть висновку:

Значить, якщо хочуть розповісти про циліндр, це так:

Це паспорт фігури. Про що по ньому можна дізнатися? (Про висоту циліндра, його товщину).

Вихователь прикладає циліндр до прямокутника, а підстави циліндра – до кіл і показує, як паспорт зіставляється з його власником.

На столі в дітей віком різні циліндри. Кожній дитині дається «паспорт», яким він повинен знайти відповідний цьому «паспорту» циліндр.

4. Гра: «Числове лото».

Діти розкладають на столі картки із цифрами від 1 до 5 (особою вниз). Картки перемішуються. Потім кожна дитина повинна витягнути навмання якусь картку і викласти стільки фігур "Геометричного лото", що мають загальну ознаку, скільки вказує цифра на картці (наприклад, 3 великі фігури, або 4 червоні фігури, або 2 кола тощо).

Після виконання завдання діти з вихователем ходять групою і перевіряють правильність рішення.

ЦИЛІНДР прямий круговий Бічна поверхня Основи циліндра О1О1 Про ά β Вісь циліндра утворює h (висота) r (радіус) Визначення: прямим круговим циліндром називається циліндр, у якого в основі лежать рівні круги, а утворює перпендикулярна основам ά||β

3. Радіусом циліндра називається радіус його основи 4. Висота циліндра-відстань між площинами основ у прямому циліндрі вона збігається з твірною 5. Вісь циліндра- пряма, що проходить через центри основ, Вона паралельна утворюючим. 1. Бічною поверхнею циліндра називається частина циліндричної поверхні, укладена між паралельними площинами 2. Основи- частина площин, що відсікаються циліндричною поверхнею,

АD ВС Рис.1 Прямий круговий циліндр можна отримати обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. на малюнку 1 – циліндр отриманий обертанням прямокутника АВСD навколо боку АВ малюнку 2- циліндр отриманий обертанням прямокутника АВСD навколо боку AD А D В З Рис.2

АВВ 1 А 1 - прямокутник В А1А1 В1В1 А 2πr2πr h S бік = 2πrh S повний = S бік + 2 S осн => S повний = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Бічна та повна поверхня циліндра h А В r S повн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Бічна та повна поверхня циліндра h А В r"> S повна = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Бічна і повна поверхня циліндра h А В r"> S повна = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Бічна та повна поверхня циліндра h А В r" title="АВВ 1 А 1 - прямокутник В А1А1 В1В1 А 2πr2πr h S бік = 2πrh S повний = S бок 2 S осн => S повн = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Бічна та повна поверхня циліндра h А В r"> title="АВВ 1 А 1 - прямокутник В А1А1 В1В1 А 2πr2πr h S бік = 2πrh S повний = S бік + 2 S осн => S повний = 2πrh + 2πr² = 2πr (r + h) Бічна та повна поверхня циліндра h А В r"> !}

H r h1h1 r1r1 «Бічні та повні поверхні подібних циліндрів відносяться як квадрати радіусів або висот» Теорема: Визначення: «Циліндри називаються подібними, якщо вони походять від обертання подібних прямокутників» S повно 1

Завдання Перший варіант Обчисліть повну та бічну поверхню циліндра, отриманого обертанням квадрата зі стороною, що дорівнює 1 см (відповідь дати, не обчислюючи значення π) Другий варіант Обчисліть повну та бічну поверхню циліндра, радіус якого дорівнює 1 дм, а висота 2 дм (відповідь дати , не обчислюючи значення π)

Дай відповідь на запитання 1. Назви елементи циліндра 2.Назви вид осьового перерізу циліндра 3. Чи може перетин циліндра бути: прямокутником квадратом трапецією? 4. Які з даних тверджень вірні: будь-який переріз циліндра площиною, перпендикулярною до основи є коло, рівне кола основи; будь-який переріз циліндра площиною є коло, що дорівнює колу основи; площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його по колу, рівному підставі циліндра; перетином циліндра може бути коло, прямокутник, еліпс.

Відповідай на запитання 1.Назви елементи циліндра (бічна поверхня, основа, вісь, радіус, що утворює, висота). 2.Назви вид осьового перерізу циліндра 3. Чи може перетин циліндра бути: -прямокутником (так) -квадратом (так) -трапецією? рівна колу основи; (невірно) -будь-який переріз циліндра площиною є коло, рівна колу основи; (Неправильно) -площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його по колу, рівному підставі циліндра; (вірно) -перерізом циліндра може бути коло, прямокутник, еліпс.(вірно)

Список використаних матеріалів 1) Підручник «Геометрія 10-11», Л.С. Атанасян та ін., Москва,Освіта)Довідник з математики А.А Ривкін та ін, Москва, Вища школа)Математика. Довідкові матеріали В.А.Гусєв, А.Г.Мордкович Москва, Освіта)Енциклопедичний словник юного математика Москва Педагогіка 1989 Щукіна Ірина Володимирівна Вчитель математики ЯНАО, м.Надим МОУ ЗОШ 5

Проте вчені не тільки зробили чоловічий статевий орган предметом для своїх досліджень, а й класифікували різновиди статевих. Ми хочемо, щоб друзі, однокурсники, однокласники, сусіди та колеги завжди залишалися в контакті. Знайди у навколишній обстановці предмети, які можуть бути моделями. На навчальний рік встановлено суму оргвнеску з одного учасника по одному з запропонованих предметів у розмірі 75 рублів. Можна обвести якийсь круглий предмет, наприклад, дно тарілки. Заохочувати самостійно поєднувати різні прийоми для посилення виразності. У будь-якому випадку, така форма, за твердженнями пожежників, дуже зручна. Від D за 0957 скажіть платформи великою світлою. А ці предмети найчастіше мають форму або прямого кругового конуса, або форму. Лампа із металевим абажуром відкидає пучок світла у вигляді конуса. Подивившись на ці атрибути, люди проходять повз, і тільки найцікавіші запитують, чому пожежне відро має форму конуса. Скачати безкоштовно Конспект уроку Циліндр. Обладнання мм проектор, відеоряд, предмети у формі конусів та усічених конусів іграшка Ракета, кавник, ковпак від новорічного костюма Маг

ВКонтакте універсальний засіб для спілкування та пошуку друзів та однокласників, яким щодня користуються десятки мільйонів людей. Якими предметами у формі конуса та циліндра користується кравець у роботі? Картина Осінь у формі хмари 112х18. Виробництво цього предмета не створення. Розташуємо предмет у просторі так, щоб кожна з двох паралельних між собою. D такі як куб, пірамідні фігури різних форм, трапеції, овал, октаедр, циліндр, конус, призма. Назвіть усі предмети у формі циліндра та конуса. Не можу знайти тут. Предметів у натюрморті, основу яких знаходяться тіла обертання, досить, при лобовому висвітленні натюрморту замість форми. Ліплення Бурульки воображульки Вчити дітей ліпити предмети у формі конуса. Автор сценарію, режисер, оператор та м. Дуже добре видно як посилюється тінь до вершини та послаблюється до основи конуса. Завдяки розкрою такого відра у формі конуса на нього йде набагато менше жерсті та простіше технологічний. Обладнання предмети кулястої форми, набір фотографій та малюнків предметів кулястої форми, циліндр, конус

Слайд 21 Запитання щодо багатогранників. Урок математики на тему Конус у 4 класі. Циліндр геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що перетинають е під прямим кутом. Що в чорному ящику? Формувати уявлення про циліндр, вміння розпізнавати циліндр у предметах. Конус, на відміну від циліндра, має вершину показую. Хлопці, кому я зараз кину цей м'яч, потрібно навести свій приклад предмета, що має форму кулі. Спочатку купила на пробу 1 абажур у формі конуса S Діам внизу 35 см. Вис 18 см. Білокрасний такий, маленький, дорожній конус. Наведемо приклади предметів, що мають форму 1 циліндра 2 конуса 3 кулі. Закріплювати вміння знаходити предмет у різних місцях. Форма предметів англійською.