Розраховуємо похибку та оцінюємо її. Обчислення випадкових похибок при вимірах. Що ми довідалися

Лабораторна робота №1.

Розрахунок похибок ємності з допомогою коефіцієнта Стьюдента.

Розрахунок похибки вимірювання потужності та опору

Цілі заняття:

Загальноосвітня– Вміння розв'язувати завдання щодо теми похибки.

РозвиваючаПоглиблення знань.

Виховна– Перевірити сформованість якостей знань.

Теоретична частина

Відхилення результату виміру від істинного вимірюваної величини називають похибкоювимірювання.

Абсолютна похибка вимірювання ΔА дорівнює різниці між результатом вимірювання Ах і дійсним значенням вимірюваної величини А:

ΔА = Ах - А (1)

Дійсна відносна похибкає відношенням абсолютної похибки вимірювання до дійсного значення вимірюваної величини, виражене у відсотках:

(2)

Номінальна відносна похибка, рівна відношенню абсолютної похибки до виміряного значення досліджуваної величини,

тобто. до показання приладу

(3)

Наведена відносна похибкавимірювання є відношенням абсолютної похибки вимірювання до максимального значення вимірювального приладу

(4)

Для приладів із двосторонньою шкалою А макс визначається як сума абсолютних величин позитивного та негативного меж вимірювання.

Якщо шкала починається не з нуля, а з якогось мінімального значення, то макс дорівнює різниці між кінцевим і початковим значеннями шкали.

Випадковиминазиваються похибки, що змінюються випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини. Випадкові похибки не можна виключити досвідченим шляхом, оскільки вони виникають випадково. Для того, щоб виключити випадкові похибки, проводять неодноразові вимірювання та визначають середнє арифметичне з отриманих значень, що визначається як

,

де а 1, а 2, …, а n – результати окремих вимірів;

n – кількість вимірів.

Для оцінки точності результатів вимірювань необхідно знати закон розподілу випадкових похибок, таким законом є нормальний закон Гауса. Середнє квадратичне відхилення може бути виражене через випадкові відхилення результатів спостереження Р:

де Р 1 = а 1 - А порівн; Р 2 = а 2 - А порівн; Р n = а n - А порівн.

Цей спосіб визначення довірчих інтервалів справедливо для великих кількостей вимірювань (20-30). Для невеликої кількості вимірювань для визначення довірчого інтервалу потрібно користуватися коефіцієнтами Стьюдента t n , які залежать від довірчої ймовірності Р, що задається, і кількості вимірювань n.

Для визначення довірчого інтервалу середню квадратичну похибку треба помножити на коефіцієнт Стьюдента. Остаточний результат виміру можна записати так:

А = Аср t n

Контрольне завдання

Завдання 1. Для зменшення впливу випадкових похибок на результат вимірювання ємність конденсатора З вимірювалася багаторазово в однакових умовах (таблиця 1). Вважаючи, що випадкові похибки мають нормальний закон розподілу, визначити на підставі заданої кількості виміру (табл. 1, табл. 2):

дійсне значення вимірюваної ємності;

Середню квадратичну та максимальну похибки одноразового виміру;

Довірчий інтервал для результату вимірювання за довірчої ймовірності Р д (табл.3).

Чи є систематична складова в похибці вимірювання ємності і з якою довірчою ймовірністю її можна оцінити, якщо прийняти як дійсне значення ємності значення Ср (таб.1, таб.2).

Таблиця 1

Таблиця 2

Примітка. Кількість та номери спостережень значень ємності для кожного варіанту визначаються даними таблиці 1 та 2, наприклад для варіанта 1 слід взяти результати вимірювань 1-3 табл.2.

Вказівки до рішення

Для зручності виконання та перевірки розрахунків за завданням доцільно подати проміжне обчислення у вигляді таблиці

Таблиця 3

	спостереження		Сi - Cср, пФ	(Сi - Cср) 2 , пФ
		Сума Сi, пФ	Сума Сi – Cср, пФ	Сума (Сi – Cср) 2 , пФ

Завдання 2. . Використовуючи формули (1-7 прикладу) зробити розрахунок абсолютної та відносної похибок вимірювання потужності та опору. Розрахунок виконується відповідно до варіантів, зазначених у завданні.

Завдання 1.Для визначення опору резистора та потужності, що виділяється на цьому опорі, виміряні напруга та струм. Знаючи основні параметри вимірювальних приладів (амперметра та вольтметра), визначити помилку непрямих вимірювань потужності та опору.

приклад.Визначити абсолютну та відносну похибки вимірювання потужності, що виділяється на резисторі, якщо відомі показання вольтметра клас точності Кв = 2,5, номінальне значення Umax = 150 В, показання 120 В та амперметра – клас точності К А = 1,0, номінальне значення шкали 10 МА, показання 6 МА.

Рішення:

Визначаємо потужність Р = U * I (Вт)

Абсолютна помилка вимірювання напруги,

Абсолютна помилка вимірювання струму, М А

Відповідно до таблиці абсолютна помилка вимірювання потужності, Вт

Відносна помилка

Примітка:

Для обчислення похибок вимірювання потужності використовуються формули 1,2,3,4,

Для обчислення похибок виміру опору використовуються формули 2,3,5,6,7.

Формули для виконання контрольної роботи та письмового іспиту на предмет «Електричні виміри»

1.Абсолютна похибка виміру

ΔА = Ах - А

2. Дійсна відносна похибка

3 Номінальна відносна похибка

4.Наведена відносна похибка

Опір шунту

R Ш = R ​​А/Р-1 (Ом)

6 .Додатковий опір

R ДОБ = R V * (Р-1) (Ом)

Коефіцієнт трансформації за струмом:

8 Коефіцієнт трансформації за напругою:

9 . Струм мережі:

I C = K i * I (А)

Напруга мережі:

U C = K U * U (В)

Активна потужність мережі:

P C = K i * K U * P (Вт)

Реактивна потужність мережі:

Q = U * I * sinφ (Вар)

Повна потужність мережі:

14. Повний опір мережі:

Z C = U C / I C (Ом)

15 Коефіцієнт потужності:

Cosφ = P C / S C

Номінальна постійна лічильника:

З НОМ = W НОМ / N НОМ (Вт * с / про)

Дійсна постійна лічильника:

З = (U * I * t / N) (Вт * с / про)

18 Поправочний коефіцієнт:

К = З / З НОМ

Відносна похибка лічильника

Β = [(З НОМ - С) / C НОМ] * 100%

3.1 Середньоарифметична похибка.Як зазначалося раніше, виміри принципово неможливо знайти абсолютно точними. Тому в ході виміру виникає завдання про визначення інтервалу, в якому найімовірніше перебуває справжнє значення вимірюваної величини. Такий інтервал вказують як абсолютної помилки виміру.

Якщо припустити, що грубі промахи у вимірах усунуті, а систематичні помилки зведені до мінімуму ретельним налаштуванням приладів та всієї установки і не є визначальними, то результати вимірювань будуть, в основному, містити лише випадкові похибки, які є знакозмінними величинами. Тому, якщо проведено кілька повторних вимірів однієї й тієї ж величини, то найімовірнішим значенням величини, що вимірюється, є її середньоарифметичне значення:

Середньою абсолютною помилкоюназивається середньоарифметичним модулем абсолютних помилок окремих вимірювань:

Остання нерівність зазвичай прийнято записувати як остаточний результат вимірювання наступним чином:

(5)

де абсолютна похибка a ср повинна обчислюватись (округлюватись) з точністю до однієї-двох значущих цифр. Абсолютна помилка показує, у якому знаку числа містяться неточності, тому у виразі для а срзалишають усі вірні цифри та одну сумнівну. Тобто середнє значення та середня помилка вимірюваної величини повинні обчислюватися до цифри того самого розряду. Наприклад: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .

Відносна погрішність.Абсолютна помилка визначає інтервал найімовірніших значень вимірюваної величини, але з характеризує ступінь точності проведених вимірів. Наприклад, відстань між населеними пунктами, виміряна з точністю до кількох метрів, можна віднести до вельми точних вимірів, у той час як вимірювання діаметра дроту з точністю до 1 мм, в більшості випадків буде дуже наближеним виміром.

Ступінь точності проведених вимірів характеризує відносну похибку.

Середній відносною похибкоюабо просто відносною помилкою вимірювання називається відношення середньої абсолютної помилки вимірювання до середнього значення вимірюваної величини:

Відносна помилка є безрозмірною величиною і зазвичай виявляється у відсотках.

3.2 Похибка методу чи приладова похибка.Середньоарифметичне значення вимірюваної величини тим ближче до істинного, чим більше проведено вимірів, при цьому абсолютна похибка виміру зі збільшенням їх числа прагне значення, яке визначається методом вимірювання та технічними характеристиками використовуваних приладів.

Похибка методуабо приладову похибку можна розрахувати за одноразовим виміром, знаючи клас точності приладу або інші дані технічного паспорта приладу, в якому вказується клас точності приладу, або його абсолютна або відносна похибка виміру.

Клас точностіприладу виражає у відсотках номінальну відносну помилку приладу, тобто відносну помилку вимірювання, коли величина, що вимірюється, дорівнює граничному для даного приладу значенню

Абсолютна похибка приладу залежить від значення вимірюваної величини.

Відносна похибка приладу (за визначенням):

(10)

звідки видно, що відносна помилка приладу тим менше, чим ближче значення вимірюваної величини до межі вимірювання даного приладу. Тому рекомендується підбирати прилади те щоб вимірювана величина становила 60 -90% від величини, яку розрахований прилад. Працюючи з многопредельными приладами теж слід прагнути до того що, щоб відлік проводився у другій половині шкали.

Працюючи з простими приладами (лінійка, мензурка тощо.), класи точності і похибки яких визначено технічними характеристиками, абсолютну похибку прямих вимірів приймають рівної половині ціни розподілу даного приладу. (Ціною поділу називають значення вимірюваної величини при показаннях приладу в один поділ).

Приладову похибку непрямих вимірівможна розрахувати, використовуючи правила наближених обчислень. В основі обчислення похибки непрямих вимірів лежать дві умови (припущення):

1. Абсолютні помилки вимірювань завжди дуже малі порівняно з величинами, що вимірюються. Тому абсолютні помилки (теоретично) можна розглядати як нескінченно малі збільшення вимірюваних величин, і вони можуть бути замінені відповідними диференціалами.

2. Якщо фізична величина, яку визначають непрямим шляхом, є функцією однієї чи кількох безпосередньо вимірюваних величин, то абсолютна помилка функції, обумовлена ​​нескінченно малими приростами, є також нескінченно малою величиною.

При зазначених припущеннях абсолютну і відносну похибку можна розрахувати, використовуючи відомі висловлювання з теорії диференціального обчислення багатьох змінних функцій:

	(11)
	(12)

Абсолютні помилки безпосередніх вимірів можуть мати знаки "плюс" чи "мінус", але який саме – невідомо. Тому щодо похибок розглядається найбільш невигідний випадок, коли помилки прямих вимірів окремих величин мають один і той самий знак, тобто абсолютна помилка має максимальне значення. Тому при розрахунку прирощень функції f(x 1 ,x 2 ,...,х n)за формулами (11) та (12) приватні збільшення повинні складатися за абсолютною величиною. Таким чином, використовуючи наближення Dх i ≈ dx i ,і вирази (11) і (12), для нескінченно малих прирощень Dаможна записати:

	(13)
	(14)

Тут: а -опосередковано вимірювана фізична величина, тобто визначається за розрахунковою формулою, Dа- Абсолютна помилка її вимірювання, х 1, х 2, ... х n; Dх 1, Dx 2, ..., Dх n,- фізичні величини прямих вимірів та його абсолютні помилки відповідно.

Таким чином: а) абсолютна помилка непрямого методу виміру дорівнює сумі модулів творів приватних похідних функції виміру та відповідних абсолютних помилок прямих вимірів; б) відносна помилка непрямого методу вимірювання дорівнює сумі модулів диференціалів від логарифму натуральної функції вимірювання, що визначається розрахунковою формулою.

Вирази (13) і (14) дозволяють розрахувати абсолютні та відносні похибки за одноразовим виміром. Зауважимо, що для скорочення розрахунків за зазначеними формулами достатньо розрахувати одну з похибок (абсолютну або відносну), а іншу розрахувати, використовуючи простий зв'язок між ними:

(15)

На практиці частіше користуються формулою (13), оскільки при логарифмуванні розрахункової формули твори різних величин перетворюються на відповідні суми, а статечні та показові функції перетворюються на твори, що набагато спрощує процес диференціювання.

Для практичного посібника з розрахунку похибки непрямого методу виміру можна скористатися таким правилом:

Щоб обчислити відносну помилку непрямого методу виміру, потрібно:

1. Визначити абсолютні помилки (приладові чи середні) прямих вимірів.

2. Прологарифмувати розрахункову (робочу) формулу.

3. Приймаючи величини прямих вимірів за незалежні змінні, знайти повний диференціал отриманого виразу.

4. Скласти всі приватні диференціали за абсолютною величиною, замінивши у них диференціали змінних відповідними абсолютними помилками прямих вимірів.

Наприклад, щільність тіла циліндричної форми обчислюється за такою формулою:

(16)

де m, D, h -вимірювані величини.

Отримаємо формулу до розрахунку похибок.

1. Виходячи з використовуваного обладнання, визначаємо абсолютні похибки вимірювання маси, діаметра та висоти циліндра (∆m, ∆D, ∆hвідповідно).

2. Логарифмуємо вираз (16):

3. Диференціюємо:

4. Замінюючи диференціал незалежних змінних на абсолютні помилки та складаючи модулі приватних прирощень, отримуємо:

5. Використовуючи чисельні значення m, D, h, D, m, h, розраховуємо е.

6. Обчислюємо абсолютну помилку

де rрозраховано за формулою (16).

Пропонуємо самим переконатися, що у разі порожнього циліндра чи трубки із внутрішнім діаметром D 1та зовнішнім діаметром D 2

До розрахунку помилки методу виміру (прямого чи непрямого) доводиться вдаватися у випадках, коли багаторазові виміри або неможливо провести в одних і тих самих умовах, або вони займають багато часу.

Якщо визначення похибки виміру є важливим завданням, зазвичай вимірювання проводять багаторазово і обчислюють і среднеарифметическую похибку і похибка методу (приладову похибку). В остаточному підсумку вказують велику з них.

Про точність обчислень

Помилка результату визначається як неточностями вимірів а й неточностями обчислень. Обчислення необхідно проводити так, щоб їх помилка була на порядок меншою від помилки результату вимірювань. Для цього згадаємо правила математичної дії із наближеними числами.

Результати вимірів – наближені числа. У наближеному числі всі цифри мають бути вірними. Останньою вірною цифрою наближеного числа вважається така цифра, помилка у якій перевищує однієї одиниці її розряду. Усі цифри від 1 до 9 і 0, якщо він стоїть у середині чи наприкінці числа, називаються значущими. Серед 2330 - 4 значущих цифри, а числі 6,1×10 2 – лише дві, серед 0,0503 – три, оскільки нулі ліворуч від п'ятірки незначні. Запис числа 2,39 означає, що вірні всі знаки до другого після коми, а запис у 1,2800 - що вірно також і третій та четвертий знаки. У числі 1,90 три значущих цифри і це означає, що при вимірі ми враховували не тільки одиниці, а й десяті та соті, а в числі 1,9 – лише дві значущі цифри і це означає, що ми враховували цілі та десяті і точність цього числа у 10 разів менше.

Правила округлення чисел

При округленні залишають лише вірні знаки, інші відкидаються.

1. Округлення досягається простим відкиданням цифр, якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5.

2. Якщо перша з цифр, що відкидаються більше, ніж 5, то остання цифра збільшується на одиницю. Остання цифра збільшується також і в тому випадку, коли перша з цифр, що відкидаються 5, а за нею є одна або кілька цифр, відмінних від нуля.

Наприклад, різні округлення числа 35856 будуть: 359; 36.

3. Якщо цифра 5, що відкидається, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число, тобто, остання збережена цифра залишається незмінною, якщо вона парна і збільшується на одиницю, якщо вона непарна.

Наприклад, 0,435 округляємо до 0,44; 0,365 округляємо до 0,36.

Припустимо, що ми проводимо серію з nвимірювань однієї і тієї ж величини х. Через наявність випадкових помилок окремі значення х 1 ,х 2 ,х 3, х n неоднакові, і як найкраще значення шуканої величини вибирається середнє арифметичне , рівне арифметичній сумі всіх виміряних значень, поділеної на число вимірювань:

де å - знак суми, i- Номер виміру, n- Число вимірювань.

Отже, - значення, найближче до істинного. Істинного значення ніхто не знає. Можна лише розрахувати інтервал D хпоблизу , у якому справжнє значення може бути з деякою мірою ймовірності р. Цей інтервал називається довірчим інтервалом. Імовірність, з якою справжнє значення до нього потрапляє, називається довірчою ймовірністю, чи коефіцієнтом надійності(оскільки знання довірчої ймовірності дозволяє оцінити степ надійності отриманого результату). При розрахунку довірчого інтервалу необхідний ступінь надійності визначається заздалегідь. Вона визначається практичними потребами (наприклад, до деталей двигуна літака пред'являються жорсткіші вимоги, ніж до мотору човна). Очевидно, для отримання більшої надійності потрібно збільшення кількості вимірів та їх ретельності.

Завдяки тому, що випадкові похибки окремих вимірів підпорядковуються ймовірнісним закономірностям, методи математичної статистики та теорії ймовірностей дозволяють розрахувати середню квадратичну похибку середнього арифметичного значення. Dхсл. Запишемо без доказу формулу для розрахунку Dхсл при малій кількості вимірів ( n < 30).

Формулу називають формулою Стьюдента:

де t n, p - коефіцієнт Стьюдента, що залежить від числа вимірів nта довірчої ймовірності р.

Коефіцієнт Стьюдента знаходять за таблицею, наведеною нижче, попередньо визначивши, виходячи з практичних потреб (як було сказано вище), величини nі р.

При обробці результатів лабораторних робіт достатньо провести 3-5 вимірювань, а довірчу ймовірність прийняти 0,68.

Але буває так, що при багаторазових вимірах виходять однакові значення величини х. Наприклад, 5 разів виміряли діаметр дроту і 5 разів отримали одне й те саме значення. Так от це зовсім не означає, що похибки немає. Це означає лише те, що випадкова похибка кожного виміру менша точностіприладу d, яку також називають приладовий,або інструментальної, похибкою. Інструментальна похибка приладу d визначатиметься за класом точності приладу, вказаним у його паспорті, або вказується на самому приладі. А іноді приймається рівною ціною поділу приладу (ціна поділу приладу - значення його найменшого поділу) або половині ціни поділу (якщо на око приблизно можна визначити половину ціни поділу приладу).

Бо кожне із значень х i отримано з похибкою d то повний довірчий інтервал Dх, Абсолютну похибку вимірювання, розраховують за формулою:

Зауважимо, що якщо у формулі (П.3) одна з величин хоча б у 3 рази більша за іншу, то меншою нехтують.

Абсолютна похибка як така не відбиває якості проведених вимірів. Наприклад, лише за інформацією абсолютна похибка дорівнює 0,002 м² не можна судити про те, наскільки добре було проведено цей вимір. Уявлення про якість проведених вимірів дає відносна погрішність e, що дорівнює відношенню абсолютної похибки до середнього значення вимірюваної величини. Відносна похибка показує, яку частку становить абсолютна похибка виміряного значення. Як правило, відносну похибку виражають у відсотках:

Розглянемо приклад. Нехай діаметр кулі вимірюється за допомогою мікрометра інструментальна похибка якого d = 0,01 мм. В результаті трьох вимірів вийшли такі значення діаметра:

d 1 = 2,42 мм, d 2 = 2,44 мм, d 3 = 2,48 мм.

За формулою (П.1) визначають середнє арифметичне значення діаметра кулі

Потім за таблицею коефіцієнтів Стьюдента знаходять, що для довірчої ймовірності 0,68 при трьох вимірах t n, p = 1,3. Після чого за формулою (П.2) розраховують випадкову похибку виміру Ddсл

Так як отримана випадкова похибка всього вдвічі перевищує приладову похибку, то при знаходженні абсолютної похибки вимірювання Dd(П.3) слід враховувати і випадкову похибку, і похибку приладу, тобто.

Мм» ±0,03 мм.

Похибка округлили до сотих міліметра, тому що точність результату не може перевищувати точність вимірювального приладу, яка в даному випадку становить 0,01 мм.

Отже, діаметр дроту дорівнює

Цей запис говорить про те, що справжнє значення діаметра кулі з ймовірністю 68 % лежить в інтервалі (2,42 2,48) мм.

Відносна похибка e отриманого значення згідно (П.4) становить

Класи точності приладів

Клас точності засобу вимірювання визначає межі основної і додаткової похибок, що допускаються. Ці межі виражаються у формі наведеної відносної, відносної чи абсолютної похибок. Якщо адитивна похибка засобу вимірювань переважає мультиплікативною, то клас точності виражається у вигляді наведеної відносної похибки:

де р- абстрактне позитивне число, що вибирається з ряду ( n= 1, 0, -1, -2, -3…). Для аналогових приладів зазвичай рприймає значення 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4.

Якщо мультиплікативна похибка засобу виміру переважає над адитивною, то клас точності виражається через відносну похибку:

Для засобів вимірювань з адитивною та мультиплікативною похибками клас точності виражається двочленною формулою:

де і - числа з наведеного вище ряду, причому - кінцеве значення діапазону вимірювань приладу - вимірюване значення. Зазвичай такий спосіб вираження класу точності використовується для цифрових приладів, багатозначних заходів та порівняльних приладів.

У аналогових приладів позначення класу точності виноситься на передню панель. Якщо клас точності дорівнює відносної похибки, то клас точності позначається у вигляді числа з наведеного вище ряду, наприклад, 0,5 . Якщо шкала приладу суттєво нерівномірна, то клас точності позначається у вигляді числа з галочкою, наприклад, а якщо клас точності виражається через відносну похибку, то число з ряду полягає у дужках, наприклад (2,5) або в коло.

Для засобів вимірювань з адитивною та мультиплікативною похибками клас точності виражається у вигляді дробу, наприклад 0,02/0,01 .

Похибки виміру можна розділити на три класи:

а) систематичні; б) випадкові; в) промахи.

До систематичних похибок належать:

- інструментальніпохибки, які, у свою чергу, складаються з приладової похибки (клас точності) та похибки від взаємодії засобу вимірювання із джерелом сигналу (залежить від вхідного опору приладу);

- додатковіпохибки через вплив зовнішніх факторів (температура, магнітне поле тощо);

- особисті похибки, що викликаються індивідуальними особливостями спостерігача;

Похибки методу вимірів.

Наприклад, похибка від взаємодії засобу вимірювання з джерелом сигналу при вимірюванні струму в ланцюзі з опором та опором амперметра дорівнює:

Похибка від взаємодії засобу виміру з джерелом сигналу при вимірі напруги на ділянці ланцюга опором та опором вольтметра дорівнює:

Ці формули застосовні при вимірюванні потужності та енергії електричного струму.

Похибка приладу залежить від класу точності. Якщо клас точності приладу виражається через наведену похибку, то відносна похибка показання приладу дорівнюватиме амперметру:

де – показання амперметра, – його номінальне значення.

Аналогічно і для вольтметра:

Якщо клас точності виражається через відносну похибку, то похибка показання дорівнює класу точності приладу.

Додаткові похибки, що так само належать до систематичних інструментальних похибок, обумовлені відхиленням умов вимірювань від нормальних.

Так, наприклад, у схемах амперметрів із шунтами, так як шунти роблять з манганіну (опір манганіну практично не залежить від температури), доводиться застосовувати схеми температурної компенсації. У найпростішому випадку послідовно з рамкою включають опір r 1з манганіну, рис. 1.

Тоді температурний коефіцієнт опору ланцюга рамки зменшиться і температурна похибка визначатиметься формулою:

де β 0 -температурний коефіцієнт опору ланцюга рамки;

r 0- опір рамки, пружинок та сполучних проводів;

r ш- Опір шунта;

r 1- Додатковий опір з манганіну;

; - Температура під час вимірювання.

У приладах високого класу точності застосовують послідовно паралельну схему температурної компенсації.

За відсутності температурної компенсації:

Температурна похибка магнітоелектричних вольтметрів визначається формулою:

де - Додатковий опір з манганіну.

З формули видно, що температурну похибку вольтметра можна зменшити, збільшуючи додатковий опір манганіну.

Для електромагнітних та електродинамічних вольтметрів температурна похибка залежить від температурного коефіцієнта моменту пружин та температурного коефіцієнта опору котушок і визначається формулою:

де - температурний коефіцієнт моменту пружинок (він негативний і становить 0,2 0,3% на 10°С).

Другий член цього виразу залежить від межі виміру приладу. Найбільшу похибку має вольтметр на найнижчій межі виміру, т.к. у разі мінімально.

В електродинамічних амперметрах з послідовною схемою з'єднання котушок і електромагнітних амперметрах температура впливає тільки на пружні властивості пружин. Тому температурна похибка їх не перевищує ±0,2% на 10°З не вимагає спеціальних способів компенсації.

На електродинамічні та електромагнітні вольтметри істотно впливає частота. Головною причиною розбіжності їх показань на постійному та змінному струмі є наявність індуктивного опору.

Частотна похибка під час переходу від постійного струму до змінного розраховується як:

де r- Опір вольтметра на постійному струмі;

r а- Активний опір ланцюга вольтметра на змінному струмі.

При частотах до 2000 Гц, на яких працюють ці прилади, можна вважати відмінність і , обумовлене вихровими струмами, в товщі міді обмотки і навколишніх металевих частинах дуже малим. Тоді, приймаючи r а r, Отримаємо:

Відхилення рухомої частини випрямного приладу пропорційно середньовипрямленому значенню струму, що протікає через нього. Тому виміряти значення змінного струму, що діє, можна тільки в тому випадку, якщо відомий коефіцієнт форми кривої змінного струму. Зазвичай шкали випрямних приладів градуюються в діючих значеннях при синусоїдальній формі кривої, помножуючи при цьому показання приладу на коефіцієнт форми =1,11 (оскільки для синусоїди).

Якщо форми кривої відрізняються від синусоїдальної, у показаннях виникає похибка, властива методу виміру:

Методичні похибки зумовлені недосконалістю методу виміру та, зокрема, недосконалістю схеми виміру. Так при непрямих вимірах опору та потужності, що споживається навантаженням, методом амперметра та вольтметра зазвичай використовують дві схеми, рис. 2.

Похибки вимірювання опору ∆ і самого за схемою а) дорівнюють:

де показання приладів.

Похибки виміру за схемою б):

Суб'єктивні чи особисті похибки у досвідчених експериментаторів зазвичай малі і ними нехтують проти іншими складовими сумарної систематичної похибки. Вважають, що це похибка Δ отс,п (похибка отсчитывания) вбирається у 20% від постійної приладу, тобто.

Оскільки похибка виміру – величина сумарна,то при прямих вимірах:

а) Для ймовірності Р= 1 знаходять граничні значення похибки вимірювання Δ п шляхом арифметичного підсумовування граничних значень складових Δ i

Складовими можуть бути:

- Основна похибка Δ про,п;

- Додаткові похибки Δ д,п;

- Похибка відрахування Δ отс,п;

- Похибка взаємодії Δ вз,п.

При такому способі підсумовування виходить сильно завищена похибка, бо малоймовірно, щоб всі складові опинилися на своїх межах і були при цьому одного й того ж знака (плюс або мінус). Проте цей спосіб дає повну гарантію.

б) Для ймовірності Р< 1 находят граничные значения погрешности измерения Δ гр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δ i ,п:

Δ гр = ± К .

Значення Дозалежить від законів розподілу випадкових величин Δ i і від значення ймовірності, що задається Р. Якщо закони розподілу невідомі, рекомендується прийняти, що це склад рівномірної щільності. При цьому з теорії ймовірностей випливає, що значення Допри різних значеннях Рвідповідають наведеним у таблиці:

Р	0,9	0,95	0,99
До	0,95	1,1	1,4

Сумарна похибка при непрямих вимірювання знаходиться за аналогічними формулами.

У цьому випадку відома функціональна залежність результату непрямого виміру Yвід аргументів Х 1; Х 2; ... Х n:

(Приклад : R =тут Y = R; Х 1 = U; X 2 = I).

Потрібно знайти похибку Δ Y, що походить від похибок Δ Х 1; Δ Х 2;… Δ Х n.

Нехай: Δ Y = Δ; Δ Х 1= Δ 1; Δ Х 2= Δ 2; ... Δ Х n= Δ n тоді за формулою повного диференціала:

Граничні значення сумарної абсолютної похибки:

При Р< 1 применяют статистическое суммирование:

де Дозалежить від значення ймовірності, що задається Ртак само, як за прямих вимірів (див. табл.).

Таким чином, систематичні похибки виміру при ретельній постановці досвіду можуть бути враховані і навіть усунуті.

Випадкові похибки та промахи контролю не піддаються, оскільки вони з'являються внаслідок одночасної дії багатьох різних причин. Ці похибки підпорядковуються законам великих чисел, тому можливий лише статистичний облік, підпорядковується теорії ймовірностей.

Випадкові похибки і промахи виявляються при багаторазових вимірах заданої величини в тих самих умовах.

У наш час людина придумала і використовує безліч різноманітних вимірювальних приладів. Але якою б досконалою не була технологія їх виготовлення, всі вони мають більшу чи меншу похибку. Цей параметр, як правило, вказується на самому інструменті, і для оцінки точності величини, що визначається, потрібно вміти розбиратися в тому, що означають зазначені на маркуванні цифри. Крім того, відносна та абсолютна похибка неминуче виникає при складних математичних розрахунках. Вона широко застосовується у статистиці, промисловості (контроль якості) та у ряді інших областей. Як розраховується ця величина і як трактувати її значення - про це якраз і йтиметься у цій статті.

Абсолютна похибка

Позначимо через наближене значення якої-небудь величини, отримане, наприклад, за допомогою одноразового вимірювання, а через х 0 - її точне значення. Тепер обчислимо модуль різниці між цими двома числами. Абсолютна похибка – це якраз і є те значення, що вийшло у нас внаслідок цієї нехитрої операції. Висловлюючись мовою формул, це визначення можна записати у такому вигляді: Δ x = | x - x 0 |

Відносна погрішність

Абсолютне відхилення має один важливий недолік - воно не дозволяє оцінити ступінь важливості помилки. Наприклад, купуємо ми на ринку 5 кг картоплі, а недобросовісний продавець при вимірі ваги помилився на 50 грам на свою користь. Тобто абсолютна похибка становила 50 грам. Для нас така помилка буде справжньою дрібницею і ми навіть не звернемо на неї уваги. А уявіть собі, що станеться, якщо при приготуванні ліків станеться така помилка? Тут уже все буде набагато серйозніше. А при завантаженні товарного вагона напевно виникають відхилення набагато більші за дане значення. Тому сама собою абсолютна похибка малоінформативна. Крім неї дуже часто додатково розраховують відносне відхилення, що дорівнює відношенню абсолютної похибки до точного значення числа. Це записується наступною формулою: δ = Δ x / x 0 .

Властивості похибок

Припустимо, ми маємо дві незалежні величини: х і у. Нам потрібно розрахувати відхилення наближеного значення їхньої суми. У цьому випадку ми можемо розрахувати абсолютну похибку як суму попередньо розрахованих абсолютних відхилень кожної з них. У деяких вимірах може статися так, що помилки у визначенні значень x та y будуть компенсувати один одного. А може статися й таке, що в результаті відхилення максимально посиляться. Тому коли розраховується сумарна абсолютна похибка, слід враховувати найгірший з усіх варіантів. Те саме справедливо і для різниці помилок кількох величин. Дана властивість характерна лише для абсолютної похибки, і щодо відхилення його застосовувати не можна, оскільки це неминуче призведе до невірного результату. Розглянемо цю ситуацію на такому прикладі.

Припустимо, вимірювання всередині циліндра показали, що внутрішній радіус (R 1) дорівнює 97 мм, а зовнішній (R 2) - 100 мм. Потрібно визначити товщину стінки. Спочатку знайдемо різницю: h = R 2 - R 1 = 3 мм. Якщо задачі не вказується чому дорівнює абсолютна похибка, її приймають за половину розподілу шкали вимірювального приладу. Таким чином, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 мм. Сумарна абсолютна похибка дорівнює: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 мм. Тепер розрахуємо щодо відхилення всіх величин:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Як бачимо, похибка вимірювання обох радіусів не перевищує 5,2%, а помилка при розрахунку їхньої різниці - товщини стінки циліндра - склала цілих 33,(3)%!

Наступна властивість свідчить: відносне відхилення твору декількох числа приблизно дорівнює сумі відносних відхилень окремих співмножників:

δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).

Причому це правило справедливо незалежно від кількості оцінюваних величин. Третє і останнє властивість відносної похибки у тому, що відносна оцінка числа k-го ступеня приблизно | k | разів перевищує відносну похибку вихідного числа.