Формула розташування площі поверхні піраміди. Повна поверхня піраміди. Як бути при знаходженні площі основи піраміди

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Трикутною пірамідоюназивається багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

У такій піраміді грані основи та ребра бічних сторін рівні між собою. Відповідно площа бічних граней перебуває із суми площ трьох однакових трикутників. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди можна за формулою. А можна зробити розрахунок у кілька разів швидше. Для цього необхідно застосувати формулу площі бічної поверхні трикутної піраміди:

де p - периметр основи, у якого всі сторони дорівнюють b, a - апофема, опущена з вершини до цієї основи. Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.

Завдання: Нехай дана правильна піраміда. Сторона трикутника, що лежить у підставі, дорівнює b = 4 см. Апофема піраміди дорівнює a = 7 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Оскільки за умовами завдання ми знаємо довжину всіх необхідних елементів, знайдемо периметр. Пам'ятаємо, що у правильному трикутнику усі сторони рівні, отже, периметр розраховується по формуле:

Підставимо дані та знайдемо значення:

Тепер, знаючи периметр, можемо розраховувати площу бічної поверхні:

Щоб застосувати формулу площі трикутної піраміди для обчислення повного значення, необхідно знайти площу основи багатогранника. Для цього використовується формула:

Формула площі основи трикутної піраміди може бути іншою. Допускається застосування будь-якого розрахунку параметрів для заданої фігури, але найчастіше це потрібно. Розглянемо приклад розрахунку площі основи трикутної піраміди.

Завдання: У правильній піраміді сторона трикутника, що лежить в основі, дорівнює a = 6 см. Розрахуйте площу основи.
Для обчислення нам потрібна лише довжина сторони правильного трикутника, що розташовується в основі піраміди. Підставимо дані у формулу:

Досить часто потрібно знайти повну площу багатогранника. Для цього потрібно скласти площу бічної поверхні та основи.

Розглянемо приклад розрахунку площі трикутної піраміди.

Завдання: нехай дана правильна трикутна піраміда. Сторона основи дорівнює b = 4 см, апофема a = 6 см. Знайдіть повну площу піраміди.
Для початку знайдемо площу бічної поверхні за вже відомою формулою. Розрахуємо периметр:

Підставляємо дані у формулу:
Тепер знайдемо площу основи:
Знаючи площу основи та бічної поверхні, знайдемо повну площу піраміди:

При розрахунку площі правильної піраміди варто не забувати про те, що в основі лежить правильний трикутник і багато елементів цього багатогранника рівні між собою.

- Це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується вкрай рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована у різний спосіб. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Так як у правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему:

Інструкція

Перш за все, варто зрозуміти, що бічна поверхня піраміди представлена ​​декількома трикутниками, площі яких можна знайти за допомогою різних формул, в залежності від відомих даних:

S = (a * h) / 2 де h - висота, опущена на бік a;

S = a*b*sinβ, де a, b - сторони трикутника, а - кут між цими сторонами;

S = (r * (a + b + c)) / 2, де a, b, c - Сторони трикутника, а r - радіус вписаної в цей трикутник кола;

S = (a*b*c)/4*R, де R - радіус описаного навколо кола трикутника;

S = (a * b) / 2 = r + 2 * r * R (якщо трикутник - прямокутний);

S = S = (a²*√3)/4 (якщо трикутник – рівносторонній).

Насправді це лише основні з відомих формул для знаходження площі трикутника.

Розрахувавши за допомогою зазначених вище формул площі всіх трикутників, що є гранями піраміди, можна приступити до обчислення площі цієї піраміди. Робиться це дуже просто: потрібно скласти площі всіх трикутників, що утворюють бічну поверхню піраміди. Формулою це можна виразити так:

Sп = ΣSi, де Sп - площа бічної , Si - площа i-го трикутника, що є частиною її бічної поверхні.

Для більшої ясності можна розглянути невеликий приклад: дано правильну піраміду, бічні грані якої утворені рівносторонніми трикутниками, а в основі її лежить квадрат. Довжина ребра даної піраміди становить 17 см. Потрібно знайти площу бічної поверхні цієї піраміди.

Рішення: відома довжина ребра даної піраміди, відомо, що її межі - рівносторонні трикутники. Таким чином, можна сказати, що всі сторони всіх трикутників бічної поверхні дорівнюють 17 см. Тому для того, щоб розрахувати площу будь-якого з цих трикутників, потрібно застосувати формулу:

S = (17 ² * √ 3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 см ²

Відомо, що в основі піраміди лежить квадрат. Таким чином, відомо, що даних рівносторонніх трикутників чотири. Тоді площа бічної поверхні піраміди розраховується так:

125.137 см² * 4 = 500.548 см²

Відповідь: площа бічної поверхні піраміди становить 500.548 см²

Спочатку обчислимо площу бічної поверхні піраміди. Під бічною поверхнею мається на увазі сума площ усіх бічних граней. Якщо ви маєте справу з правильною пірамідою (тобто такою, в основі якої лежить правильний багатокутник, а вершина проектується в центр цього багатокутника), то для обчислення всієї бічної поверхні достатньо помножити периметр основи (тобто суму довжин усіх сторін багатокутника, що лежить в основі піраміди) на висоту бічної грані (інакше званої апофемою) і розділити отримане значення на 2: Sб=1/2P*h, де Sб - це площа бічної поверхні, P - периметр основи, h - висота бічної грані (апофема).

Якщо перед вами довільна піраміда, доведеться окремо обчислювати площі всіх граней, та був їх складати. Оскільки бічними гранями піраміди є трикутники, скористайтеся формулою площі трикутника: S = 1/2b * h, де b - це основа трикутника, а h - висота. Коли площі всіх граней обчислені, залишається лише скласти їх, щоб отримати площу бічної поверхні піраміди.

Потім необхідно обчислити площу основи піраміди. Вибір формули для розрахунку залежить від того, який багатокутник лежить у підставі піраміду: правильний (тобто такий, усі сторони якого мають однакову довжину) чи неправильний. Площу правильного багатокутника можна обчислити, помноживши периметр на радіус вписаного в багатокутник кола і поділивши отримане значення на 2: Sn=1/2P*r, де Sn - це площа багатокутника, P - це периметр, а r - це радіус вписаного в багатокутник кола .

Усічена піраміда – це багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі. Знайти площу бічної поверхні піраміди дуже просто. Її дуже проста: площа дорівнює добутку половини суми підстав із апофему. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди. Припустимо, дана правильна чотирикутна піраміда. Довжини основи дорівнюють b=5 см, c = 3 см. Апофема a = 4 см. Щоб знайти площу бічної поверхні піраміди, потрібно спочатку знайти периметр основ. У великій підставі він дорівнює p1=4b=4*5=20 см. У меншій підставі формула буде наступною: p2=4c=4*3=12 см. Отже, площа дорівнюватиме: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 див.

Піраміда – це багатогранник, одна з граней якого (основа) – довільний багатокутник, інші грані (бічні) – трикутники, мають загальну вершину. За кількістю кутів основи піраміди бувають трикутні (тетраедр), чотирикутні і таке інше.

Піраміда є багатогранником, що має основу у вигляді багатокутника, а інші грані є трикутниками із загальною вершиною. Апофемою називається висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини.

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ основи та всієї її бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний корінь із трьох.

Але існує і загальна формула для розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r .

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
2. Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 і S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і основи, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.