Хоча із завданням віднайдення рівнів енергії основного стану водню ми і впоралися, ми все ж таки продовжимо вивчення цієї цікавої системи. Щоб сказати про неї ще щось, наприклад, щоб підрахувати швидкість, з якою атом водню поглинає або випускає радіохвилі довжиною 21 см,треба знати, що з ним відбувається, коли він обурений. Потрібно зробити те, що ми зробили з молекулою аміаку, після того, як ми знайшли рівні енергії, ми вирушили далі і з'ясували, що відбувається, коли молекула знаходиться в електричному нулі. І після цього неважко виявити вплив електричного поля радіохвилі. У випадку атома водню електричне поле нічого з рівнями не робить, хіба що зрушує їх на деяку постійну величину, пропорційну квадрату поля, а нам це нецікаво, тому що це не змінює різницьенергій. Цього разу важливо вже магнітноеполе. Отже, наступним кроком буде написати гамільтоніан для складнішого випадку, коли атом сидить у зовнішньому магнітному полі.

Який же цей гамільтоніан? Ми просто повідомимо вам відповідь, бо жодного «доказу» дати не можемо, хіба що сказати, що саме так влаштований атом.

Гамільтоніан має вигляд

Тепер він складається із трьох частин. Перший член А(σ е ·σ р) представляє магнітну взаємодію між електроном та протоном; воно таке ж, наче магнітного поля не було. Вплив зовнішнього магнітного поля проявляється у інших двох членах. Другий член (- μ е σ еВ) це та енергія, якою електрон мав би в магнітному полі, якби він там був один. Так само останній член (- μ р σ р · В) був би енергією протона-одиначки. Згідно з класичною фізикою, енергія їх обох разом була б сумою їх енергій; з квантової механіки це теж правильно. Енергія взаємодії, що виникає через наявність магнітного поля, дорівнює просто сумі енергій взаємодії електрона з магнітним полем і протона з тим же полем, виражених через оператори сигма. У квантовій механіці ці члени насправді не є енергіями, але звернення до класичних формул енергії допомагає запам'ятовувати правила написання гамільтоніана. Як би там не було, (10.27) це правильний гамільтоніан.

Тепер потрібно повернутися до початку і вирішувати все завдання знову. Але більшість роботи вже зроблено, треба лише додати ефекти, викликані новими членами. Приймемо, що магнітне поле постійно і направлено по z. Тоді до нашого старого оператора гамільтона Нтреба додати два нових шматки; позначимо їх Н′:

Дивіться як зручно! Оператор H′, діючи кожен стан, дає просто число, помножене цього ж стан. У матриці<¡|H′| j>є тому тільки діагональніелементи, і можна просто додати коефіцієнти з (10.28) до відповідних діагональних членів (10.13), так що гамільтонові рівняння (10.14) звертаються в

Форма рівнянь не змінилася, змінилися лише коефіцієнти. І бувай Уне змінюється з часом, можна робити так само, як і раніше.
Підставляючи З ¡= a l e-(¡/h)Et, ми отримуємо

На щастя, перше і четверте рівняння, як і раніше, не залежать від інших, так що знову піде в хід та ж техніка. Одне рішення - це стан |/>, для якого

Для інших двох рівнянь потрібно більше роботи, тому що коефіцієнти при а 2 і а 3вже не рівні один одному. Але вони дуже схожі на ту пару рівнянь, яку ми писали для молекули аміаку. Оглядаючись на рівняння (7.20) та (7.21), можна провести наступну аналогію (пам'ятайте, що тамтешні індекси 1 та 2 відповідають тут індексам 2 та 3):

Раніше енергії давалися формулою (7.25), яка мала вигляд

У гл.7 ми звикли називати ці енергії Е Iта E II, тепер ми їх позначимо Е IIIі E IV

Отже, ми виявили енергії чотирьох стаціонарних станів атома водню в постійному магнітному полі. Перевіримо наші викладки, для чого спрямуємо Уна нуль і подивимося, чи вийдуть ті ж енергії, що й у попередньому параграфі. Ви бачите, що все гаразд. При В=0енергії Е I , Е IIі Е IIIзвертаються до +А, a E IV - в - 3А.Навіть наша нумерація станів узгоджується з колишньою. Але коли ми включимо магнітне поле, кожна енергія почне змінюватися по-своєму. Подивимося, як це відбувається.

По-перше, нагадаємо, що у електрона μ eнегативно і майже у 1000 разів більше μ p, яке позитивне. Значить, і μ e +μ р, і μ e -μ р обидва негативні та майже рівні один одному. Позначимо їх -μ і -μ':

(І μ , і μ′ позитивні і за величиною майже збігаються з μ e, яка приблизно дорівнює одному магнетону Бора.) Наша четвірка енергій тоді звернеться в

Енергія E I спочатку дорівнює Аі лінійно росте зі зростанням Узі швидкістю μ. Енергія Е IIтеж спочатку дорівнює А,але зі зростанням Улінійно зменшується,нахил її кривий дорівнює μ . Зміна цих рівнів з Упоказано на фіг.10.3. На малюнку показано також графіки енергій Е IIIі E IV. Їхня залежність від Уінша. При малих Увони залежать від Уквадратично; спочатку нахил їх дорівнює нулю, а потім вони починають викривлятися і при великих Внаближаються до прямих з нахилом ± μ ′, близьким до нахилу E Iі Е II.

Зсув рівнів енергії атома, що викликається дією магнітного поля, називається ефектом Зеємана.Ми говоримо, що криві на фіг. 10.3 показують зеєманівське розщепленняосновного стану водню Коли магнітного поля немає, то виходить одна спектральна лінія від надтонкої структури водню. Переходи між станом IV> і будь-яким з інших трьох відбуваються з поглинанням або випромінюванням фотона, частота якого дорівнює 1420 МГц:1/h, помноженої на різницю енергій 4A. Але коли атом знаходиться в магнітному полі, то ліній виходить набагато більше. Можуть відбуватися переходи між будь-якими двома із чотирьох станів. Значить, якщо ми маємо атоми у всіх чотирьох станах, то енергія може поглинатися (або випромінюватись) у будь-якому з шести переходів, показаних на фіг. 10.4 вертикальними стрілками. Багато хто з цих переходів можна спостерігати за допомогою техніки молекулярних пучків Рабі, яку ми описували в гол. 35, § 3 (вип.7).

Що ж причина переходів? Вони виникають, якщо поряд із сильним постійним полем Удокласти мале магнітне поле, що обурює, яке змінюється в часі. Те саме ми спостерігали і при дії змінного електричного поля на молекулу аміаку. Тільки тут винуватець переходів — це магнітне поле, що діє магнітні моменти. Але теоретичні викладки ті самі, що й у разі аміаку. Найпростіше вони виходять, якщо взяти магнітне поле, що обурює, обертається в площині ху,хоча те саме буде від будь-якого осцилюючого горизонтального поля. Якщо ви вставите це обурювальне поле як додатковий член у гамільтоніан, то отримаєте рішення, в яких амплітуди змінюються в часі, як це було і з молекулою аміаку. Отже, ви зможете легко та акуратно розрахувати ймовірність переходу з одного стану до іншого. І виявите, що все це узгоджується з досвідом.

Розділ 10

Надвисоке розщеплення у водні

§ 1. Базисні стани для системи двох частинок зі спином 1/2

§2. Гамільтоніан основного стану водню

§ 3. Рівні енергії

§ 6.Проекційна матриця для спина 1

§ 1. Базисні стани для системи двох частинок зі спином 1 / 2

У цьому розділі ми займемося «надтонким розщепленням» водню – цікавим прикладом того, що ми вже можемо робити за допомогою квантової механіки. Тут у нас уже будуть не два статки, а більше. Повчальність цього прикладу в тому, що він познайомить нас із методами квантової механіки, що застосовуються у складніших завданнях. Сам собою цей приклад досить складний, і як тільки ви зрозумієте, як з ним справлятися, вам відразу ж стане ясно, як узагальнити його на інші можливі завдання.

Як відомо, атом водню складається з електрона та протона; електрон сидить неподалік протона і може існувати в одному з багатьох дискретних енергетичних станів, у кожному з яких його картина інша. Так, перший збуджений стан лежить на 3/4 рідберга, або на 10 ев,вище за основний стан. Але навіть так званий основний стан водню насправді не є окремим станом з певною енергією, бо електрон і протон мають спини. Ці спини й відповідальні за «надтонку структуру» у рівнях енергії, яка розщеплює всі рівні енергії на кілька майже однакових рівнів.

Спин електрона може бути спрямований або вгору або вниз; у протона теж його власнийспин може дивитися вгору чи вниз. Тому на будь-який динамічний стан атома припадають чотириможливі спінові стани. Інакше кажучи, коли фізик говорить про «основний стан» водню, він насправді має на увазі «чотири основні стани», а не просто найнижчий із них. У чотирьох спінових станів енергія не зовсім однакова; є невеликі зрушення по відношенню до того, що спостерігалося б без спинів. Ці зрушення, однак, у багато разів менше, ніж ті 10 ев,які лежать між основним станом та наступним вищим станом.

У результаті енергія кожного динамічного стану розщеплена на низку дуже тісних рівнів - це так зване надтонке розщеплення.

Різниці енергій чотирьох спинових станів – це і є те, що ми хочемо розрахувати у цьому розділі. Надтонке розщеплення викликається взаємодією магнітних моментів електрона та протона; воно призводить для кожного спинового стану до злегка відмінним магнітним енергіям. Ці зрушення енергії становлять лише близько десятимільйонної частини електрон-вольта, що дійсно набагато менше. ев!

Саме через такий великий проміжок основний стан водню ми маємо право вважати «чотирирівневою системою», не переймаючись тим, що насправді за більш високих енергій станів значно більше. Ми маємо намір обмежитися вивченням надтонкої структури тільки основного стану атома водню.

Для наших цілей нам не важливі різні деталі розташуванняелектрона і протона, тому що всі вони, так би мовити, вже вироблені атомом, всі вони вийшли самі собою, коли атом потрапив до основного стану. Достатньо знати лише, що електрон і протон знаходяться неподалік один від одного, в якомусь певному просторовому співвідношенні. Крім того, у них можуть бути різні взаємні орієнтації спинів. І ми хочемо розглянути лише спінові ефекти.

Перше питання, на яке слід відповісти: які базисні станидля цієї системи? Але це питання поставлене неправильно. Такої речі, як єдинийбазис, не існує, а будь-яка система базисних станів, яку ви виберете, не буде єдиною. Завжди можна скласти нові системи із лінійних комбінацій старої. Для базисних станів є безліч виборів і всі вони однаково законні.

Отже, треба питати: не «який базис?», а «яким його можна, можливовибрати?». І вибрати ви маєте право будь-яке, аби вам було зручно.

Зазвичай найкраще починати з базису, який фізичнонайбільш очевидний. Він не обов'язково повинен вирішувати якесь завдання чи бути безпосередньоважливим у якомусь відношенні, ні, він загалом повинен лише полегшувати розуміння того, що відбувається.

Ми вибираємо такі базисні стани:

Стан 1.І в електрона, і в протона спини дивляться нагору.

Стан 2.У електрона спин дивиться вгору, а в протона-вниз.

Стан 3.У електрона спин дивиться вниз, а у протона -

Стан 4.І в електрона, і в протона спини дивляться

Для короткого запису цих чотирьох станів введемо такі позначення:

Стан 1:|+ +>; у електрона спин вгору,у протона спин вгору.

Стан 2:| + ->; у електрона спин вгору,

у протона спин вниз.

Стан 3:|- + >; у електрона спин вниз,у протона спин вгору.

Стан 4:|- - >; у електрона спин вниз,у протона спин вниз. (10.1)

Пам'ятайте, що першийзнак плюс або мінус відноситься до електрона, другий -до протону. Щоб ці позначення були під рукою, вони зведені на фіг. 10.1.

Фіг. 10.1. Сукупність базисних станів

для основного стану атома водню

Ці стани ми позначаємо | + +>, | + ->> |- +>.

Часом зручніше позначатиме ці стани |1>, |2>, |3> і |4>.

Ви можете сказати: «Але частки взаємодіють, і, можливо, ці стани зовсім не є правильними базовими станами. Виходить, що ви розглядаєте обидві частки незалежно». Так, справді! Взаємодія ставить нам питання: який гамільтоніансистеми? Але питання про те, як описатисистему, що не стосується взаємодії. Що б ми не вибрали як базис, це ніяк не пов'язано з тим, що станеться після. Може виявитися, що атом не здатний залишатисяв одному з цих базисних станів, навіть якщо з нього все почалося. Але це інше питання. Це питання про те, як згодом змінюються амплітуди у вибраному (фіксованому) базисі. Вибираючи базові стани, ми просто вибираємо «поодинокі вектори» для нашого опису.

Раз вже ми торкнулися цього, кинемо погляд на загальну проблему віднайдення сукупності базисних станів, коли є не одна частка, а більше. Ви знаєте базисні стани для однієї частки. Електрон, наприклад, повністю описується в реального життя(не в наших спрощених випадках, а в реальному житті) завданням амплітуд перебування в одному з таких станів:

| Електрон спином нагору з імпульсом р>або

| Електрон спином вниз із імпульсом р>.

Насправді є дві нескінченні сукупності станів, по одному на кожне значення р. Отже, сказати, що електронний стан |y> описано повністю, можна лише тоді, коли ви знаєте всі амплітуди

де + і - являють компоненти моменту кількості руху вздовж якоїсь осі, зазвичай осі z, a p- Вектор імпульсу. Отже, для кожного мислимого імпульсу мають бути дві амплітуди (двічі нескінченна сукупність базисних станів). Ось і все, що потрібно для опису окремої частки.

Так само можуть бути написані базисні стану, коли частинок не одна, а більше. Наприклад, якщо треба було б розглянути електрон і протон у складнішому, ніж у нас, випадку, то базисні стани могли б бути такими: Електрон з імпульсом p 1 рухається спиною вгору, а протон із імпульсом р 2 рухається спином униз. І так далі для інших спінових комбінацій. Якщо частинок більше двох, ідея залишається такою самою. Отже, ви бачите, що розписати можливібазисні стани насправді дуже легко. Питання тільки в тому, який гамільтоніан.

Нам вивчення основного стану водню немає потреби застосовувати повні сукупності базисних станів для різних імпульсів. Ми обговорюємо та фіксуємо певні імпульсні стани протона та електрона, коли вимовляємо слова «основний стан». Деталі зміни - амплітуди всім імпульсних базисних станів - можна розрахувати, але це інше завдання. А ми зараз торкаємося лише впливу спина, тож обмежимося лише чотирма базисними станами (10.1). Чергове питання таке: який гамільтоніан для цієї сукупності станів?

§ 2. Гамільтоніан основного стану водню

За хвилину ви це дізнаєтесь. Але спочатку хочу вам нагадати одну річ: всякестан завжди можна як лінійної комбінації базисних станів. Для будь-якого стану |y|> можна написати

Нагадаємо, що повні дужки - це просто комплексні числа, тому їх можна позначити звичайним чином через З i, де i=l, 2, 3 або 4, і записати (10.2) у вигляді

Завдання четвірки амплітуд З iповністю визначає спиновий стан |y>. Якщо ця четвірка змінюється у часі (як це і буде насправді), то швидкість зміни у часі дається оператором Н ^.Завдання полягає в тому, щоб знайти цей оператор H^.

Немає загального правила, як писати гамільтоніан атомної системи, і відшукання правильної формули вимагає більшого мистецтва, ніж відшукання системи базисних станів. Ми вам змогли дати загальне правилоЯк записувати систему базисних станів для будь-якого завдання, в якому є протон і електрон, але описати загальний гамільтоніан такої комбінації на цьому рівні занадто важко. Натомість ми підведемо вас до гамільтоніану деякими евристичними міркуваннями, і вам доведеться визнати його. правильним, тому що результати будуть узгоджуватися з експериментальними спостереженнями.

Згадайте, що в попередньому розділі ми змогли описати гамільтоніан окремої частинки зі спином 1/2, застосувавши сигма-матриці або точно еквівалентні їм сигма-оператори. Властивості операторів зведені у табл. 10.1. Ці оператори, які є просто зручним, коротким способом запам'ятовування матричних елементів типу, були корисні для опису поведінки. окремоючастинки зі спином 1/2. Виникає питання, чи можна знайти аналогічний засіб для опису системи з двома спинами. Так, і дуже просто. Ось дивіться. Ми винайдемо річ, яку назвемо «електрон-сигма» і яку представлятимемо векторним оператором s e з трьома компонентами s e x , s e y та s e z . Далі умовимося,що коли одна з них діє

Таблиця 10.1· ВЛАСТИВОСТІ СИГМА-ОПЕРАТОРІВ

на якийсь із наших чотирьох базисних станів атома водню, то вона діє на один тільки спин електрона, причому гак, ніби електрон був один, сам по собі. Приклад: чому дорівнює s y е|-+>? Оскільки s y , що діє на електрон зі спином донизу, дає - i, помножений на стан з електроном, у якого спин вгору, то

s e y |-+>=- i|++>.

(Коли s y е діє комбінований стан, воно перевертає електрон, не торкаючись протон, і множить результат на - i.) Діючи інші стани, s е удасть

Нагадаємо ще раз, що оператор s діє тільки на першийспиновий символ, тобто на спин електрону.

Тепер визначимо відповідний оператор протон-сигма для спина протона. Три його компоненти s p x , s p y, s p z , діють так само, як і s е, але тільки на протонний спин.Наприклад, якщо s p x діятиме на кожен із чотирьох базисних станів, то вийде (знову за допомогою табл. 10.1)

Як бачите, нічого складного. У загальному випадку можуть зустрітися речі та складніше. Наприклад, добуток операторів s e y s p z . Коли є такий твір, спочатку робиться те, що хоче правий оператор, а потім - чого вимагає лівий. Наприклад,

Зверніть увагу, що ці оператори з числами нічого не роблять; ми використовували це, коли писали s e x (-1) = (-1) s e x . Ми говоримо, що оператори «комутують» з числами або що «можна протягнути» через оператор. Попрактикуйтеся та покажіть, що твір s е х s p z дає для чотирьох станів наступний результат:

Якщо перебрати всі допустимі оператори, кожен раз, то всього може бути 16 можливостей. Так, шістнадцять,якщо увімкнути ще «поодинокий оператор» 1. По-перше, є трійка s е х, s е y, s е z, Потім трійка s p x, s p y, s p z, всього шість. Крім того, є дев'ять творів виду s е х s p y , всього 15. І ще один оператор, що залишає всі стани недоторканими. Ось і всі шістнадцять!

Зауважте тепер, що з системи з чотирма станами матриця Гамільтона повинна бути матрицю коефіцієнтів 4x4, у ній буде 16 чисел. Легко показати, що будь-яка матриця 4X4, і зокрема матриця Гамільтона, може бути записана у вигляді лінійної комбінації шістнадцяти подвійних матриць спини, відповідних системі операторів, які ми тільки що склали. Тому для взаємодії між протоном та електроном, до якого входять тільки їхні спини, ми можемо очікувати, що оператор Гамільтона може бути записаний у вигляді лінійної комбінації тих самих 16 операторів. Питання лише у тому, як.

Але, по-перше, ми знаємо, що взаємодія залежить від нашого вибору осей для системи координат. Якщо немає зовнішнього обурення - чогось на зразок магнітного поля, що виділяє якийсь напрям у просторі, то гамільтоніан не може залежати від нашого вибору напрямків осей х, уі z.Це означає, що в гамільтоніані не може бути таких членів, як s e x сам по собі. Це виглядало б безглуздо, тому що хтось в іншій системі координат прийшов би до інших результатів.

Єдино можливі лише член із одиничною матрицею, скажімо постійна а(помножена на 1^), і деяка комбінація сигм, яка залежить від координат, деяка «інваріантна» комбінація. Єдина скалярнаінваріантна комбінація з двох векторів - це їх скалярний твір, що має для наших сигм вигляд

Цей оператор інваріантний по відношенню до будь-якого повороту системи координат. Отже, єдина можливість для гамільтоніана з підходящою симетрією у просторі - це постійна, помножена на одиничну матрицю, плюс постійна, помножена цього скалярне твір, тобто.

Це і є наш гамільтоніан. Це єдине, чому, виходячи з симетрії в просторі, він може дорівнювати, поки що немає зовнішнього поля.Постійний член нам багато не повідомить; він просто залежить від рівня, який ми вибрали для відліку енергії. З рівним успіхом можна було прийняти Е 0 = 0. А другий член розповість нам про все, що потрібно для того, щоб знайти розщеплення рівнів у водні.

Якщо завгодно, можна розмірковувати про гамільтоніан інакше. Якщо поблизу один від одного знаходяться два магніти з магнітними моментами m е і m р, то їхня взаємна енергія залежить, крім усього іншого, і від m е · mнар. А ми, як ви пам'ятаєте, з'ясували, що річ, яку ми в класичній фізиці називали m е, у квантовій механіці виступає під ім'ям m e s e . Подібним чином, те, що в класичній фізиці виглядає як m p , в квантовій механіці зазвичай виявляється рівним m р s р (де m р - магнітний момент протона, який майже в 1000 разів менше m е і має зворотний знак). Отже, (10.5) стверджує, що енергія взаємодії подібна до взаємодії двох магнітів, але не до кінця, тому що взаємодія двох магнітів залежить від відстані між ними. Але (10.5) може вважатися (і насправді є)свого роду середнім взаємодією. Електрон якось рухається всередині атома, і наш гамільтоніан дає лише середню енергію взаємодії. Загалом усе це свідчить, що з запропонованого розташування електрона і протона у просторі існує енергія, пропорційна косинусу кута між двома магнітними моментами (висловлюючись класично). Така класична якісна картина може допомогти вам зрозуміти, звідки все виходить, але єдине, що важливо при цьому те, що (10.5) - це правильна квантовомеханічна формула.

Порядок величини класичного взаємодії між двома магнітами мав би даватися добутком двох магнітних моментів, поділеним на куб відстані між ними. Відстань між електроном і протоном в атомі водню, грубо кажучи, дорівнює половині атомного радіусу, тобто 0,5 А. Тому можна приблизно прикинути, що постійна Аповинна дорівнювати добутку магнітних моментів m е і m p , поділеному на куб половини ангстрему. Така пристрілка призводить до числа, що потрапляє якраз у потрібний район. Але виявляється, що Аможна підрахувати і акуратніше, варто лише розібратися в повній теорії атома водню, що нам поки що не під силу. Насправді Абуло підраховано з точністю до 30 мільйонів. Як бачите, на відміну від постійного перекидання Амолекули аміаку, яку за теорією неможливо добре підрахувати, наша постійна Адля водню може бутирозрахована з детальнішої теорії. Але нічого не поробиш, нам для наших теперішніх цілей доведеться рахувати Ачислом, яке можна визначити з досвіду, і аналізувати фізику справи.

Взявши гамільтоніан (10.5), можна підставити його на рівняння

та подивитися, що робить спинову взаємодію з рівнями енергії. Для цього треба підрахувати шістнадцять матричних елементів H ij = i| H|j>, які відповідають будь-якій двійці з чотирьох базисних станів (10.1).

Почнемо з того, що підрахуємо, чому одно Н^ |j> для кожного із чотирьох базисних станів. Наприклад,

Користуючись способом, описаним трохи раніше (згадайте табл. 10.1, вона дуже полегшить справу), ми знайдемо, що кожна пара робить з |+ +>· Відповідь така:

Значить, (10.7) перетворюється на

Таблиця 10.2· Спинові оператори ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДУ

А якщо всі наші чотири базові стани ортогональні, то це негайно призводить до

Згадуючи, що Н| i>=<.i>|H|j>* ми відразу зможемо написати диференціальне рівняння для амплітуди З 1:

От і все! Лише один член.

Щоб тепер отримати рівняння Гамільтона, що залишилися, ми повинні терпляче пройти через ті ж процедури з H^,чинним інші стани. По-перше, попрактикуйтесь у перевірці того, що всі твори сигм у табл. 10.2 написані правильно. Потім за їх допомогою отримаєте

І тоді, помножуючи їх усі по порядку зліва на всі інші вектори станів, ми отримуємо наступну матрицю гамільтонів H ij :

Це, звичайно, означає, що диференційне рівняннядля чотирьох амплітуд З iмають вигляд

Але перш ніж перейти до їх вирішення, важко утриматися від того, щоб не розповісти вам про одне розумне правило, яке вивів Дірак. Воно допоможе вам відчути, як багато ви вже знаєте, хоч нам у нашій роботі воно й не знадобиться. З рівнянь (10.9) та (10.12) ми маємо

«Погляньте, - сказав Дірак, - перше та останнє рівняння я можу записати також у вигляді

і тоді всі вони стануть схожими. Тепер я вигадаю новий оператор, який позначу Рспин. обмін і який, за визначення,матиме наступні властивості:

Оператор цей, як бачите, лише обмінює напрямки спина у двох частинок. Тоді всю систему рівнянь (10.15) я можу написати як одне просте операторне рівняння:

Це і є формула Дірака. Оператор обміну спинами дає зручне правило для запам'ятовування s е ·s p. (Як бачите, ви тепер уже все вмієте робити. Вам всі двері відчинені.)

§ 3. Рівні енергії

Тепер ми готові до того, щоб обчислити рівні енергії основного стану водню, вирішуючи рівняння гамільтонів (10.14). Ми хочемо знайти енергію стаціонарних станів. Це означає, що ми маємо відшукати ті особливі стани |y>, котрим кожна з належать |y> амплітуд C i=i|y> має одну і ту ж залежність від часу, а саме е - w t . Тоді стан матиме енергію E=hw. Отже, ми шукаємо сукупність амплітуд, для яких

де четвірка коефіцієнтів а iне залежить від часу. Щоб побачити, чи можемо ми отримати ці амплітуди, підставимо (10.17) до (10.14) і подивимося, що з цього вийде. кожне ihdC i /dtв (10.14) перейде в EC i . І після скорочення на загальний експоненційний множник кожне З iперетвориться на а i; отримаємо

Це і необхідно вирішити для пошуку a 1 , а 2 , а 3 та а 4 . Право, дуже мило з боку першого рівняння, що воно не залежить від інших, а це означає, що одне рішення відразу видно. Якщо вибрати Е = А,то

a 1=1, a 2 =a 3 =a 4 =0

дасть рішення. (Звичайно, якщо прийняти все арівними нулю, це теж буде рішення, але стану воно не дасть!) Будемо вважати наше перше рішення станом | I>:

Його енергія

Е I =А.

Все це негайно дає ключ до другого рішення, що отримується з останнього рівняння (10.18):

а 1 =а 2 =а 3 =0, а 4 =1, Е=А.

Це рішення назвемо станом | II>:

|//> = |4> = |-->,(10.20)

Е(а 2 + а 3 ) = А(а 2 + а 3 ). (10.21)

Віднімаючи, матимемо

Окидаючи це поглядом і нагадуючи знайомий нам уже аміак, ми бачимо, що тут є два рішення:

Це суміш станів | 2 > та | 3 >. Позначаючи їх | III> та | IV> та вставляючи для правильного нормування множник 1/Ц2, маємо

Е III =А(10.24)

Ми знайшли четвірку стаціонарних станів та їхньої енергії. Зверніть увагу, до речі, що наші чотири стани ортогональні один одному, так що їх теж можна за бажання вважати базисними станами. Завдання наше повністю вирішене.

У трьох станів енергія дорівнює А, а в останнього - ЗА.Середнє дорівнює нулю, а це означає, що коли (10.5) ми вибрали Е 0 = 0, то тим самим ми вирішили відраховувати всі енергії від їхнього середнього значення. Діаграма рівнів енергії основного стану водню буде виглядати так, як на фіг. 10.2.

Фіг. 10.2. Діаграма рівнів енергії основного стану атомарного водню.

Відмінність енергій між станом | IV> і будь-яким з інших дорівнює 4 A. Атом, який випадково виявиться станом | I>, може звідти впасти у стан | IV>і випустити світло: не оптичне світло, тому що енергія дуже мала, а мікрохвильовий квант. Або, якщо висвітлити водневий газ мікрохвилями, ми помітимо поглинання енергії, оскільки атоми може | IV>перехоплюватимуть і переходитимуть у одне з вищих станів, але це лише на частоті w=4 A/h. Ця частота була виміряна експериментально; найкращий результат, отриманий порівняно недавно, такий:

Помилка становить лише три стомільярдні! Ймовірно, жодна з фундаментальних фізичних величин не виміряна краще за цю; таке одне з найвидатніших за точністю вимірювань у фізиці. Теоретики були дуже щасливі, коли їм вдалося вирахувати енергію з точністю до 3 · 10 -5; але до цього часу вона була виміряна з точністю до 2 · 10 -11, тобто. в мільйон разів точніше, ніж у теорії. Отже, експериментатори йдуть далеко попереду теоретиків. У теорії основного стану атома водню та ви,і ми знаходимося в однаковому положенні. Адже ви також можете взяти значення Аз досвіду - і кожному, зрештою, доводиться робити те саме.

Ви, напевно, вже чули раніше про «21-с.м лінії» водню. Це і є довжина хвилі спектральної лінії в 1420 р. Мгцміж надтонкими станами. Випромінювання з такою довжиною хвилі випромінюється або поглинається атомарним водневим газом у галактиках. Значить, за допомогою радіотелескопів, налаштованих на хвилі 21 см(або приблизно на 1420 Мгц),можна спостерігати швидкості та розташування згущень атомарного водню. Вимірюючи інтенсивність, можна оцінити його кількість. Вимірюючи зсув у частоті, викликаний ефектом Допплера, можна з'ясувати рух газу галактиці. Це одна із великих програм радіоастрономії. Тож ми з вами зараз говоримо про щось дуже реальне, це зовсім не якесь штучне завдання.

§ 4. Зееманівське розщеплення

Хоча із завданням віднайдення рівнів енергії основного стану водню ми і впоралися, ми все ж таки продовжимо вивчення цієї цікавої системи. Щоб сказати про неї ще щось, наприклад, щоб підрахувати швидкість, з якою атом водню поглинає або випускає радіохвилі довжиною 21 см,треба знати, що з ним відбувається, коли він обурений. Потрібно зробити те, що ми зробили з молекулою аміаку, після того як ми знайшли рівні енергії, ми вирушили далі і з'ясували, що відбувається, коли молекула знаходиться в електричному полі. І після цього неважко виявити вплив електричного поля радіохвилі. У випадку атома водню електричне поле нічого з рівнями не робить, хіба що зрушує їх на деяку постійну величину, пропорційну квадрату поля, а нам це нецікаво, тому що це не змінює різницьенергій. Цього разу важливо вже магнітнеполе. Отже, наступним кроком буде написати гамільтоніан для складнішого випадку, коли атом сидить у зовнішньому магнітному полі.

Який же цей гамільтоніан? Ми просто повідомимо вам відповідь, бо жодного «доказу» дати не можемо, хіба що сказати, що саме так влаштований атом.

Гамільтоніан має вигляд

Тепер він складається із трьох частин. Перший член А(s е · s р) представляє магнітну взаємодію між електроном та протоном; воно таке ж, наче магнітного поля не було. Вплив зовнішнього магнітного поля проявляється у інших двох членах. Другий член (-m е s е · У) - це та енергія, якою електрон мав би в магнітному полі, якби він там був один. Так само останній член (-m р sр · У) був би енергією протона-одинака. Згідно з класичною фізикою, енергія їх обох разом була б сумою їх енергій; з квантової механіки це теж правильно. Енергія взаємодії, що виникає через наявність магнітного поля, дорівнює просто сумі енергій взаємодії електрона з магнітним полем і протона з тим же полем, виражених через оператори сигма. У квантовій механіці ці члени насправді не є енергіями, але звернення до класичних формул енергії допомагає запам'ятовувати правила написання гамільтоніана. Як би. то не було, (10.27) – це правильний гамільтоніан.

Тепер потрібно повернутися до початку і вирішувати все завдання знову. Але більшість роботи вже зроблено, треба лише додати ефекти, викликані новими членами. Приймемо, що магнітне поле постійно і направлено по z.Тоді до нашого старого оператора гамільтона Н^треба додати два нових шматки; позначимо їх Н^":

Користуючись табл. 10.1 ми відразу отримуємо

Дивіться як зручно! Оператор Н",діючи на кожен стан, дає просто число, помножене на цей стан. У матриці i|H"|j> є тому тільки діагональніелементи, і можна просто додати коефіцієнти з (10.28) до відповідних діагональних членів (10.13), так що гамільтонові рівняння (10.14) звертаються в

Форма рівнянь не змінилася, змінилися лише коефіцієнти. І бувай Уне змінюється з часом, можна робити так само, як і раніше.

Підставляючи

, ми отримуємо

На щастя, перше і четверте рівняння, як і раніше, не залежать від інших, так що знову піде в хід та ж техніка. Одне рішення – це стан | I>, для якого

Інше рішення

Для решти двох рівнянь потрібно більше роботи, тому що коефіцієнти при а 2 та a 3 вже не рівні один одному. Але вони дуже схожі на ту пару рівнянь, яку ми писали для молекули аміаку. Оглядаючись на рівняння (7.20) та (7.21), можна провести наступну аналогію (пам'ятайте, що тамтешні індекси 1 та 2 відповідають тут індексам 2 та 3):

Раніше енергії давалися формулою (7.25), яка мала вигляд

Підставляючи сюди (10.33), отримуємо для енергії

У гол. 7 ми звикли називати ці енергії Е Iі Е II , тепер ми їх позначимо Е IIIі E IV :

Отже, ми виявили енергії чотирьох стаціонарних станів атома водню в постійному магнітному полі. Перевіримо наші викладки, для чого спрямуємо Уна нуль і подивимося, чи вийдуть ті ж енергії, що й у попередньому параграфі. Ви бачите, що вага гаразд. При В= 0енергії Е I , Е IIі Е IIIзвертаються до + А, a E IV - в - ЗА.Навіть наша нумерація станів узгоджується з колишньою. Але коли ми включимо магнітне поле, кожна енергія почне змінюватися по-своєму. Подивимося, як це відбувається.

По-перше, нагадаємо, що у електрона m е негативно і майже в 1000 разів більше m р, яке позитивно. Значить, і m e +m p і m e -m p обидва негативні та майже рівні один одному. Позначимо їх -m та -m":

(І mі m" позитивні і за величиною майже збігаються з m е, яке приблизно дорівнює одному магнетону Бора.) Наша четвірка енергій тоді звернеться в

Енергія Е Iспочатку дорівнює Аі лінійно росте зі зростанням Узі швидкістю m. Енергія Е IIтеж спочатку дорівнює A, але зі зростанням Улінійно зменшується,нахил її кривий дорівнює -m . Зміна цих рівнів з Упоказано на фіг. 10.3. На малюнку показано також графіки енергій Е IIIі E IV . Їхня залежність від Уінша. При малих Увони залежать від Уквадратично; спочатку нахил їх дорівнює нулю, а потім вони починають викривлятися і при великих Внаближаються до прямих з нахилом ±m", близьким до нахилу e iі Е II

Зсув рівнів енергії атома, що викликається дією магнітного поля, називається ефектом Зеємана.Ми говоримо, що криві на фіг. 10.3 показують зеєманівське розщепленняосновного стану водню

Фіг. 10.3. Рівні енергії основного стану

водню в магнітному поліУ .

Криві E III та Е IV наближаються до пунктирних прямих

А±'В.

Коли магнітного поля немає, то виходить одна спектральна лінія від надтонкої структури водню. Переходи між станом IV> і будь-яким з інших трьох відбуваються з поглинанням або випромінюванням фотона, частота якого дорівнює 1420 Мгц:1/h,помноженої на різницю енергій 44. Але коли атом знаходиться в магнітному полі, то ліній виходить набагато більше. Можуть відбуватися переходи між будь-якими двома із чотирьох станів. Значить, якщо ми маємо атоми у всіх чотирьох станах, то енергія може поглинатися (або випромінюватись) у будь-якому з шести переходів, показаних на фіг. 10.4 вертикальними стрілками.

Фіг. 10.4. Переходи між рівнями енергії основного стану водню у деякому магнітному поліУ.

Багато хто з цих переходів можна спостерігати за допомогою техніки молекулярних пучків Рабі, яку ми описували в гол. 35, § 3 (вип.7).

Що ж причина переходів? Вони виникають, якщо поряд із сильним постійним полем Bдокласти мале магнітне поле, що обурює, яке змінюється в часі. Те саме ми спостерігали і при дії змінного електричного поля на молекулу аміаку. Тільки тут винуватець переходів – це магнітне поле, що діє на магнітні моменти. Але теоретичні викладки ті самі, що й у разі аміаку. Найпростіше вони виходять, якщо взяти магнітне поле, що обурює, обертається в площині ху,хоча те саме буде від будь-якого осцилюючого горизонтального поля. Якщо ви вставите це обурювальне поле як додатковий член у гамільтоніан, то отримаєте рішення, в яких амплітуди змінюються в часі, як це було і з молекулою аміаку. Отже, ви зможете легко та акуратно розрахувати ймовірність переходу з одного стану до іншого. І виявите, що все це узгоджується з досвідом.

§ 5. Стану в магнітному полі

Тепер займемося формою кривих на фіг. 10.3. По-перше, якщо говорити про великі поля, то залежність енергії від поля досить цікава і легко зрозуміла. При досить великих У(а саме при mB/A>>1) у формулах (10.37) можна знехтувати одиницею. Четвірка енергій набуває вигляду

Це рівняння чотирьох прямих на фіг. 10.3. Ці формули можна фізично зрозуміти в такий спосіб. Природа стаціонарних станів нульовомуполе повністю визначається взаємодією двох магнітних моментів. Перемішування базисних станів + -> та | - +> у стаціонарних станах | III> та | IV>викликано цією взаємодією. Однак навряд чи можна очікувати, що кожна з наших частинок (і протон, і електрон) у сильних зовнішніхполях відчуватиме вплив поля іншої частинки; кожна діятиме так, якби у зовнішньому полі знаходилася вона одна. Тоді (як ми вже багато разів бачили) спин електрона виявиться спрямованим уздовж зовнішнього магнітного поля (за ним чи проти нього).

Нехай спин електрона спрямований нагору, тобто вздовж поля; енергія його буде -m e B. Протон при цьому може стояти по-різному. Якщо у нього спин теж спрямований нагору, то його енергія -m p B.Їхня сума дорівнює -(m е +m р) B = mB.А це якраз і є E I , і це дуже приємно, тому що ми описуємо стан |+ +>=| I>. Є ще невеликий додатковий член А(тепер (m B>>A), що представляє енергію взаємодії протона та електрона, коли їх спини паралельні. (Ми з самого початку вважали Апозитивним, тому що так мало бути за теорією, про яку йшлося; те саме виходить і досвіді.) Але спин протона може бути спрямований і вниз. Тоді його енергія у зовнішньому нулі звернеться до +m Р B, а разом з електроном їхня анергія буде -(m e -m р) В= m Ст.А енергія взаємодії звертається до - А.Їхня сума дасть енергію Е III , (10.38). Отже, стан | III>в сильних полях стає станом |+ ->.

Нехай тепер спін електрона спрямований униз. Його енергія у зовнішньому нулі дорівнює m e Ст.Якщо і протон дивиться вниз, їх загальна енергія дорівнює (m e +m p) В = - m У плюсенергія взаємодії А(Спини тепер паралельні). Це призводить саме до енергії Е II(10.38) і відповідає стану |- ->=| II>, що дуже мило. І нарешті, якщо у електрона спин спрямований вниз, а у протона - вгору, ми отримаємо енергію (m e -m p ) В-А (мінус Аоскільки спини протилежні), тобто. E IV . А стан відповідає |- +>.

«Почекайте хвилинку, - мабуть, скажете ви. - «Стану | Ill>і | IV>- це нестану | + - > та | - +>; вони є їх сумішами».Правильно, але перемішування тут ледь помітне. Дійсно, при 5=0 вони є сумішами, але ми поки що не з'ясовували, що буває при великих Ст.Коли для отримання енергії стаціонарних станів користувалися аналогією між (10.33) і формулами гл. 7, то заразом можна було звідти взяти і амплітуди. Вони вийдуть з (7.23):

Ставлення a 2 /a 3 - це, звичайно, цього разу C 2 /C 3 Вставляючи аналогічні величини (10.33), отримуємо

де замість Етреба взяти відповідну енергію (або Е III , або E IV ). Наприклад, для стану | III>маємо

Значить, за великих Уу стану | ///> З 2 >>З 3; стан майже повністю стає станом | 2>= |+ ->. Так само якщо в (10.39) підставити e iv , то вийде, що (З 2 /З 3) IV >звертається просто у стан |3> = |- +>. Ви бачите, що коефіцієнти в лінійних комбінаціях наших базисних станів, що становлять стаціонарні стани, самі залежать від Ст.

Стан, який ми називаємо | III>, у дуже слабких полях є суміш |+ -> і |- +> у пропорції 1:1, але у сильних полях цілком зміщується до |+ ->. Так само і стан | IV>, яке у слабких полях також є сумішшю |+ -> і |- +> у пропорції 1:1 (зі зворотним знаком), перетворюється на стан | - +), коли спини через сильне зовнішнього поля більше один з одним не пов'язані.

Хотілося б звернути вашу увагу, зокрема, на те, що відбувається у дуже слабкихмагнітні поля. Є одна енергія ( -3А), яка не змінюєтьсяпри включенні слабкого магнітного поля. І є інша енергія ( +А), яка при включенні слабкого магнітного поля розщеплюється на три різні рівні енергії. У слабких полях енергії зі зростанням Узмінюються так, як показано на фіг. 10.5. Припустимо, що у нас є якимось чином відібрана безліч атомів водню, у яких у всіх енергія дорівнює 3А.Якщо пропустити їх через прилад Штерна - Герлаха (з не дуже сильними полями), ми знайдемо, що вони просто проходять цілком наскрізь. (Оскільки їхня енергія не залежить від В,то, згідно з принципом віртуальної роботи, градієнт магнітного поля не створює жодної сили, яка відчувалася б ними.) Нехай, з іншого боку, ми б відібрали групку атомів з енергією Аі пропустили їх через прилад Штерна – Герлаха, скажімо через прилад S.(Знову поля в приладі не повинні бути настільки сильними, щоб зруйнувати нутрощі атома; мається на увазі, що поля малі настільки, що енергії можна вважати лінійно залежними від В.)Ми би отримали три пучки.На стан | I> та | II> діють протилежні сили, їх енергії змінюються за Улінійно з нахилом ±m, так що силиподібні до сил, що діють на диполь, у якого m z = ±m , а стан | III> проходить наскрізь. Ми знову повертаємось до гол. 3. Атом водню з енергією +А це частка зі спином 1.Цей енергетичний стан є «часткою», для якої j=1, і може бути описано (стосовно деякої системи осей у просторі) у термінах базисних станів |+ S>, | 0S> та |- S>, якими ми користувалися в гол. 3. З іншого боку, коли атом водню має енергію -3 А,він є часткою зі спином нуль. (Нагадуємо, що все сказане, строго кажучи, справедливе лише для нескінченно малих магнітних полів.) Отже, стан водню в нульовому магнітному полі можна згрупувати наступним чином:

У гол. 35 (вип. 7) ми говорили, що у будь-якої частинки компоненти моменту кількості руху вздовж будь-якої осі можуть приймати тільки певні значення, що завжди відрізняються на h.Так, z-компонента моменту кількості руху J zможе бути рівна jh,(j-1) h, (j- 2)h,..., (-j)h, де j- Спин частинки (який може бути цілим або напівцілим). Зазвичай пишуть

J z =mh,(10.43)

де тстоїть замість будь-якого з чисел j, j-1, j- 2, . . .,-j(свого часу ми не сказали про це). Ви тому часто зустрінете у книжках нумерацію чотирьох основних станів за допомогою так званих квантових чисел jі m[часто іменованих «квантовим числом повного моменту кількості руху» ( j) та «магнітним квантовим числом» (m)].Замість наших символів | I>, |II> і т. д. багато хто часто пишуть стани у вигляді | j, m>. Нашу табличку станів для нульового поля (10.41) і (10.42) вони б зобразили у вигляді табл. 10.3. Тут немає будь-якої нової фізики, це просто питання позначення.

Таблиця 10.3· СТАНУ АТОМУ ВОДОРОДУ В НУЛЬОВОМУ ПОЛІ

§ 6. Проекційна матриця для спина 1

Тепер ми хотіли б застосувати наші знання про атом водню до одного спеціального завдання. У гол. 3 ми говорили про те, що частка зі спином 1,що знаходиться в одному з базисних станів (+, 0, -) по відношенню до приладу Штерна - Герлаха з якоюсь приватною орієнтацією (скажімо, по відношенню до приладу S),матиме певну амплітуду перебування в одному із трьох станів по відношенню до приладу Т,орієнтованому у просторі по-іншому. Є дев'ять таких амплітуд. , які разом утворюють проекційну матрицю. У гол. 3, § 7, ми без доказу виписали елементи цієї матриці для різних орієнтацій Тпо відношенню до S.Тепер ми хочемо показати вам один із способів їх виведення.

В атомі водню ми з вами знайшли систему зі спином 1, складену з двох частинок зі спином 1/2. У гол. 4 ми вже навчилися перетворювати амплітуди на спину 1 / 2 . Ці знання можна застосувати для того, щоб отримати перетворення для спина 1. Ось як це робиться: є система (атом водню з енергією + а)зі спином 1. Нехай ми пропустили її крізь фільтр SШтерна - Герлаха так, що знаємо тепер, що вона знаходиться в одному з базисних станів по відношенню до S,скажімо у |+ S). Яка амплітуда того, що вона опиниться в одному з базисних станів, скажімо |+ T), по відношенню до приладу Т?Якщо ви назвете систему координат приладу Sсистемою х, у, z,той стан |+ S> - те, що нещодавно називалося станом |+ +>. Але уявіть, що якийсь ваш друг провів свою вісь zвздовж осі Т.Він свої статки відноситиме до деякої системи х", у", z". Його стани "вгору" і "вниз" для електрона і протона відрізнялися б від ваших. Йогостан «плюс – плюс», який можна записати | +"+">, наголошуючи на «штрихованості» системи, є стан |+ Т> частки зі спином 1. А вас цікавить T|+ S>, що є просто інший спосіб запису амплітуди.

Амплітуду можна знайти в такий спосіб. У вашоюсистемі спин електроназі стану | + +> спрямований нагору. Це означає, що у нього є деяка амплітуда е опинитися в системі вашого приятеля спином вгору і деяка амплітуда е опинитися в цій системі спином вниз. Так само, протонв стані + + Умає спин вгору у вашій системі та амплітуди р і p виявитися спином вгору чи вниз у «штрихованій» системі. Оскільки ми говоримо про дві різні частинки, то амплітуда того, що обидвічастинки разомв йогосистемі виявляться спинами вгору, дорівнює добутку амплітуд

Ми поставили е і р під амплітудами, щоб було ясно, що ми робимо. Але обидві вони – це просто амплітуди перетворень для частинки зі спином 1/2, так що насправді – це одні й ті самі числа. Фактично - це ті ж амплітуди, які ми в гол. 4 називали Т|+ S> > і які ми навели в табл. 4.1 та 4.2.

Але тепер нам загрожує плутанина в позначеннях. Потрібно вміти розрізняти амплітуду T|+ S) для частки зі спином 1/2 від того, що ми такожназвали T|+ S>, але для спина 1-Между ними немає нічого спільного! Сподіваюся, вас не дуже зб'є з пантелику, якщо ми на часвведемо інші позначення амплітуд для спина 1/2, вони наведені в табл. 10.4. Для станів частинок спина 1 ми, як і раніше, будемо вдаватися до позначень | + S, | 0S> та |- S>.

Таблиця 10.4· АМПЛІТУДИ для СПІНА 1 / 2

У наших нових позначеннях (10.44) просто перетворюється на

Це якраз амплітуда T|+ S> для спина 1. Тепер давайте, наприклад, припустимо, що вашого приятеля система координат, т. е. «штрихований» прилад Т,повернута навколо вашоюосі zна кут j; тоді із табл. 4.2 виходить

Значить, з (10.44) амплітуда для спина 1 виявиться рівною

Тепер вам зрозуміло, як ми діятимемо далі.

Але добре провести викладки в загальному випадку для всіх станів. Якщо протон і електрон у нашоїсистемі (системі S)обидва дивляться нагору, то амплітуди того, що в іншій системі (системі Т)вони будуть в одному з чотирьох можливих станів,

Потім ми можемо записати стан |+ +> у вигляді наступної лінійної комбінації:

Але тепер помічаємо, що |+ "+"> - це стан |+ Т>, що (|+"-">+|-"+">) - це якраз Ц2, помноженийна стан | 0 T> [див. (10.41)], і що | - "-"> = |- Т>. Іншими словами, (10.47) листується у вигляді

Так само легко показати, що

З |0 S> справа трохи складніша, тому що

Але кожен із станів | + - > та | - +> можна виразити через «штриховані» стани та підставити у суму:

Помножуючи суму (10.50) та (10.51) на 1/Ц2, отримуємо

звідси випливає

Тепер ми маємо всі необхідні амплітуди. Коефіцієнти (10.48), (10.49) і (10.52) -це матричні елементи

jТ| iS>. Зведемо їх в одну матрицю:

Ми висловили перетворення спина 1 через амплітуди а, b,з і dперетворення спина 1/2.

Якщо, наприклад, система Тповернена по відношенню до Sна кут а навколо осі у(див. фіг. 3.6, стор. 64), то амплітуди в табл. 10.4-це просто матричні елементи R y(a) у табл. 4.2:

Підставивши їх у (10.53), отримаємо формули (3.38), які наведені на стор. 80 без доказу.

Але що сталося зі станом | IV)?! Це система зі спином нуль; значить, у неї є лише один стан – він у всіх системах координатодне і теж. Можна перевірити, що так і виходить, якщо взяти різницю (10.50) і (10.51); отримаємо

Але (ad-bc) -це визначник матриці для спина 1/2, він просто дорівнює одиниці. Виходить

|IV">=|IV> за будь-якої відносної орієнтації двох систем координат.

* Тим, хто перескочив через гол. 4, доведеться пропустити і цей параграф.

* Згадайте, що класично U = -m · B, отже енергія найменша, коли спрямований по полю. Для позитивно заряджених частинок магнітний момент паралельний спину, для негативних – навпаки. Значить, у (10.27) m р - Число позитивне, а (m е - Негативне.

* Crampton, Kleppner, Ramsey, Physical Review Letters, 11, 338 (1963).

*Насправді станом є

але, як завжди, ми ототожнити стани з постійними векторами, які при t=0 збігаються з реальними векторами.

* Цей оператор зараз називають оператор обміну спинами.

* Для цих операторів, щоправда, виявляється, що від їхнього порядку нічого не залежить.

, молекул та іонів і, відповідно, спектральних ліній , обумовлена ​​взаємодією магнітного моменту ядра з магнітним полем електронів . Енергія цієї взаємодії залежить від можливих взаємних орієнтацій спини ядра і спинів електронів.

Відповідно, надтонке розщеплення- розщеплення рівнів енергії (і спектральних ліній) на кілька підрівнів, що викликається такою взаємодією.

Згідно з класичними уявленнями, електрон, що обертається навколо ядра, як і будь-яка заряджена частка, що рухається по круговій орбіті, має магнітний дипольний момент. Аналогічно і в квантовій механіці орбітальний кутовий момент електрона створює певний магнітний момент. Взаємодія цього магнітного моменту з магнітним моментом ядра (обумовленим ядерним спином) призводить до надтонкого розщеплення (тобто створює надтонку структуру). Однак електрон також має спином, що дає внесок у його магнітний момент. Тому надтонке розщеплення є навіть для термів з нульовим орбітальним моментом.

Відстань між підрівнями надтонкої структури по порядку величини в 1000 разів менша, ніж між рівнями тонкої структури (такий порядок величини по суті обумовлений відношенням маси електрона до маси ядра).

Аномальна надтонка структураобумовлена ​​взаємодією електронів з квадрупольним електричним моментом ядра.

Історія

Надтонке розщеплення спостерігалося ще А. А. Майкельсоном в 1881 році, але було пояснено тільки після того, як В. Паулі в 1924 припустив наявність магнітного моменту в атомних ядер.

Напишіть відгук про статтю "Надтонка структура"

Література

• Ландау Л.Д., Ліфшиц О.М. Теоретична фізика. Том 3. Квантова механіка (нерелятивістська теорія).
• Шпільський Е.В. Атомна фізика. - М: Наука, 1974.

Уривок, що характеризує надтонку структуру

- Веселитися нема чого, - відповів Болконський.
Тоді як князь Андрій зійшовся з Несвицьким і Жерковим, з іншого боку коридору назустріч їм йшли Штраух, австрійський генерал, який перебував при штабі Кутузова для спостереження продовольством російської армії, і член гофкригсрата, які приїхали напередодні. Широким коридором було достатньо місця, щоб генерали могли вільно розійтися з трьома офіцерами; але Жерков, відштовхуючи рукою Несвицького, захеканим голосом промовив:
- Ідуть! ... Ідуть! ... Стороніться, дорогу! будь ласка дорогу!
Генерали проходили з виглядом бажання позбавитися від почестей, що турбують. На обличчі жартівника Жеркова раптом виразилася дурна усмішка радості, якої він ніби не міг утримати.
- Ваше превосходительство, - сказав він німецькою, висуваючись уперед і звертаючись до австрійського генерала. – Маю честь привітати.
Він нахилив голову і ніяково, як діти, які вчаться танцювати, почав розшаркуватися то однією, то іншою ногою.
Генерал, член гофкрігсрату, суворо озирнувся на нього; не помітивши серйозність дурної усмішки, не міг відмовити у хвилинній увазі. Він примружився, показуючи, що слухає.
- Маю честь привітати, генерал Мак приїхав, зовсім здоровий, тільки трохи тут забився, - додав він, сяючи усмішкою і вказуючи на свою голову.
Генерал насупився, відвернувся і пішов далі.
- Gott, wie naiv! [Боже мій, який він простий!] – сказав він сердито, відійшовши кілька кроків.
Несвицький з реготом обійняв князя Андрія, але Болконський, ще більше зблідлий, зі злим виразом в особі, відштовхнув його і звернувся до Жеркова. Те нервове роздратування, в яке його навели вигляд Мака, звістка про його поразку і думку про те, що чекає російську армію, знайшло собі результат в озлобленні на недоречний жарт Жеркова.
- Якщо ви, милостивий пане, - заговорив він пронизливо з легким тремтінням нижньої щелепи, - хочете бути блазнем, то я вам у цьому не можу перешкодити; але оголошую вам, що якщо ви наважитеся інший раз розбурхати в моїй присутності, то я вас навчу, як поводитися.
Несвицький і Жерков були так здивовані цією витівкою, що мовчки, розплющивши очі, дивилися на Болконського.
– Що ж, я привітав лише, – сказав Жерков.
- Я не жартую з вами, будьте ласкаві мовчати! – крикнув Болконський і, взявши за руку Несвицького, пішов геть від Жеркова, котрий не знаходив, що відповісти.
– Ну, що ти, братику, – заспокоюючи сказав Несвицький.

СВЕРХТОНКА СТРУКТУРА(Надтонке розщеплення) рівнів енергії - розщеплення рівнів енергії атома, молекули або кристала на дек. підрівнів, обумовлений взаємодією магн. моменту ядра з магн. полем, створюваним гол. обр. електронами, а також взаємодією з неоднорідним внутрішньоатомним електрич. полем. Внаслідок надтонкого розщеплення рівнів оптич. Спектр атомів і молекул замість однієї спектральної лінії виникає група дуже близьких ліній - С. с. спектральних ліній.

Якщо ядро ​​атома або одне з атомних ядер молекули має спин I, то кожен підрівень С. с. характеризується повним моментом F = J+ 7, де J- Векторна сума повного електронного моменту і моменту орбітального руху ядер. Fповного моменту пробігають значення F = | J - I |, | J - I | + 1,..., J+I (Jі I- квантові числа повного механіч. електронного та ядерного спінового моментів). При число підрівнів дорівнює 2I + 1, а за J< I воно одно 2J+ 1. Енергія підрівня записується у вигляді:

де - Енергія рівня в зневагі С. с., - Енергія магн. диполь-дипольної взаємодії, - Енергія електрич. квадрупольної взаємодії.

В атомах та іонах осн. роль грає магн. взаємодія, енергія до-рого

константа А(Гц) визначається усередненням станом з повним моментом F оператора магн. взаємодії електронів з ядерним моментом Розмір взаємодії пропорц. ядерному магнетону, де - магнетон Бора, т- Маса електрона і m р - Маса протона. Відстань між підрівнями С. с. в атомі приблизно в 1000 разів менше, ніж відстань між компонентами тонкої структури. Характерні величини надтонкого розщеплення для порядку одного або дек. ГГц. Надтонке розщеплення збуджених рівнів енергії зменшується пропорц. енергії зв'язку збудженого електрона ступеня 3/2 і швидко зменшується зі збільшенням орбітального моменту електрона. У випадку водневих атомів (Н, Не + і т. д.)

де - Рідберга постійна, - тонка постійна структура, Z- Заряд ядра (в одиницях електрона), пі l- головне та орбітальне квантові числа, g I- Ядерний Ланді множник. Електрич. квадрупольна взаємодія існує при несферич. ядер с. Воно дає поправки до енергії підрівнів атома

Константа Увизначається усередненням станом з повним моментом F оператора квадрупольної взаємодії

де i, k = 1, 2, 3, - символ Кронекера.Зазвичай постійна квадрупольна взаємодія Уна один-півтора порядку менше константи А. Квадрупольна взаємодія призводить до порушення правила інтервалів Ланде.

Для дипольних переходів між підрівнями С. с. різних рівніввиконуються відбору правила:. Між підрівнями С. с. одного рівня дозволено магн. дипольні переходи із зазначеними вище правилами відбору, а також електрич. квадрупольні переходи із правилами добору.

Майже у всіх молекул в основному електронному стані сумарний механіч. момент електронів дорівнює нулю та магн. С. с. коливально-обертають. рівнів енергії гол. обр. пов'язана з обертанням молекули. У разі двоатомних, лінійних багатоатомних молекул та молекул типу симетричного дзиги (див. Молекула), що містять одне ядро ​​зі спином Iна осі молекули,

де J і К- квантові числа повного обертають. моменту та його проекції на вісь дзиги відповідно. магніт. розщеплення становлять 1-100 кГц. Якщо спином володіють дек. ядер молекули, то внаслідок магн. взаємодії ядерних моментів виникають доповн. розщеплення порядку дек. кГц. Магнітна С. с. рівнів енергії молекул, що мають електронний момент, того ж порядку, що і для атомів.

Якщо молекула в стані містить на своїй осі ядро ​​з , гл. роль відіграє квадрупольне розщеплення:

де (Гц) - константа, характерна рівня з даними Доі J. Величини квадрупольних розщеплень становлять десятки та сотні МГц.

У розчинах, стеклах і кристалах С. с. можуть мати рівні енергії домішкових іонів, вільних радикалів, електронів, локалізованих на дефектах решітки.

разл. ізотопи хім. елементів мають разл. значеннями ядерного спина, які лінії відчувають ізотопич. зсув. Тому часто відбувається накладення спектрів різних ізотопів та С. с. спектральних ліній додатково ускладнюється.

Літ.:Таунс Ч., Шавлов А., Радіоспектроскопія, пров. з англ., М., 1959; Собельман І. І., Введення в теорію атомних спектрів, М., 1977; Armstrong L. jr., Theory of hyperfine structure of free atoms, N. Y.-, 1971; P а д ц і г А. А., С М і р н о Б. М., Параметри атомів і атомних іонів. Довідник, 2 видавництва, М., 1986. Є. А. Юков.

9. Порівняти отримане значення з теоретичним, обчисленим через універсальні постійні.

Звіт повинен містити:

1. Оптичну схему спектрометра з призмою та поворотною призмою;

2. Таблицю вимірів кутів відхилення ліній – реперів ртуті та його середні значення;

3. Таблицю вимірів кутів відхилення ліній водню та його середні значення;

4. Значення знайдених частот ліній водню та інтерполяційні формули, якими проводилися розрахунки;

5. Системи рівнянь, використані визначення постійної Рідберга методом найменших квадратів;

6. Отримане значення постійної Рідберга та її значення, обчислене за універсальними постійними.

3.5.2. Спектроскопічне визначення ядерних моментів

3.5.2.1. Експериментальне визначення параметрів надтонкого розщеплення спектральних ліній.

Для вимірювання надтонкої структури спектральних ліній необхідно використовувати спектральні прилади високої роздільної сили, тому в даній роботі використовується спектральний прилад зі схрещеною дисперсією, в якому інтерферометр Фабрі-Перо поміщений усередину призменного спектрографа (див. рис. 3.5.1 та розділ 2.4.3.2,

Мал. 2.4.11).

Дисперсія призменного спектрографа достатня для поділу спектральних ліній випромінювання, обумовлених переходами валентного електрона в атомі лужного металу, але недостатня для дозволу надтонкої структури кожної з цих ліній. Тому при використанні тільки призменного спектрографа ми отримали б на фотопластинці звичайний спектр випромінювання, в якому компоненти надтонкої структури злилися б в одну лінію, спектральна ширина якої визначається лише розкидаючою здатністю ІСП51.

Інтерферометр Фабрі-Перо дозволяє отримати в межах кожної спектральної лінії інтерференційну картину, що є послідовністю інтерференційних кілець. Кутовий діаметр цих кілець θ, як відомо з теорії інтерферометра ФабріПеро, визначається співвідношенням товщини повітряного шару еталона t і довжини хвилі λ :

		θ k = k

де k - Порядок інтерференції для даного кільця.

Таким чином, кожна спектральна лінія є не просто геометричним зображенням вхідної щілини, побудованим оптичною системою спектрографа в площині фотопластинки, кожне з цих зображень тепер виявляється перетнутим відрізками інтерференційних кілець. Якщо надтонке розщеплення відсутнє, то межах даної спектральної лінії спостерігатиметься одна система кілець, відповідних різним порядкам інтерференції.

Якщо ж у межах даної спектральної лінії присутні дві компоненти з різними довжинами хвиль (надтонке розщеплення), то картина інтерференції буде дві системи кілець для довжин хвиль λ і λ ", зображених на рис. 3.5.2 суцільними і пунктирними лініями відповідно.

Мал. 3.5.2. Інтерференційна структура спектральної лінії, що складається з двох близьких компонентів.

Лінійний діаметр інтерференційних кілець d у наближенні малих кутів пов'язаний з кутовим діаметром θ співвідношенням:

d = θ×F 2 ,

де F 2 – фокусна відстань об'єктива камери спектрографа.

Отримаємо вирази, що зв'язують кутові та лінійні діаметри інтерференційних кілець із довжиною хвилі випромінювання, що формує картину інтерференції в інтерферометрі Фабрі-Перо.

У наближенні малих кутів cos θ 2 k ≈ 1− θ 8 k для двох довжин

хвиль λ і λ " умови інтерференційного максимуму k -ого порядку запишуться відповідно:

						4λ "
θk = 8	−k			θ" k = 8	−k

Звідси для різниці довжин хвиль двох компонентів отримуємо:

d λ = λ" −λ =			(θ k 2		− θ" k 2 )
Кутовий діаметр (k +1 ) - го порядку довжини хвилі визначиться
співвідношенням:
	8 − (k +1)
k+ 1

З (3.5.9) та (3.5.11) отримуємо:

		= θ2			− θ2
					k+ 1
Виключаючи t						з (3.5.10)-(3.5.12) отримаємо:
dλ =				θk 2 − θ" k 2
			k θ2 − θ2
						k+ 1

При малих кутах порядок інтерференції дається співвідношенням

k = 2 λ t (див.(3.5.8)), так що рівність (3.5.13) набуває вигляду:

dλ =				θk 2 − θ" k 2
	2 t θ 2				− θ2
					k+ 1
Переходячи до хвильових чисел ν =								Отримуємо:
		1 d k 2 − d "k 2
d ν =
				− d 2
				k+ 1

Тепер для визначення d ~ ν нам необхідно виміряти лінійні діаметри двох систем інтерференційних кілець для двох компонентів надтонкої структури всередині досліджуваної спектральної лінії. Для підвищення точності визначення d ~ ν має сенс вимірювати діаметри кілець, починаючи з другого та закінчуючи п'ятим. Подальші кільця розташовані тісно один до одного і похибка визначення різниці квадратів діаметрів кілець зростає дуже швидко. Зосереджувати можна всю праву частину (3.5.16), чи окремо чисельник та знаменник.

3.5.2.2. Визначення ядерного магнітного моменту

У цій роботі пропонується визначити величини розщеплення основного стану 52 S 1 2 стабільного ізотопу Rb 87 по над-