Як записати дві вірні рівності. Концепція рівності, знак рівності, пов'язані визначення. Подвійні, потрійні нерівності тощо

У свою чергу відносинам «менше або одно» і «більше або одно» притаманні такі властивості:

• рефлексивності: мають місце нерівності a≤a і a≥a (оскільки вони включають випадок a=a );
• антисиметричності: якщо a b, то b a, і якщо a b, то b;
• транзитивності: з a≤b та b≤c випливає, що a≤c , а з a≥b та b≥c випливає, що a≥c .

Подвійні, потрійні нерівності тощо.

Властивість транзитивності, яку ми торкнулися у попередньому пункті, дозволяє складати так звані подвійні, потрійні тощо. нерівності, які є ланцюжка нерівностей. Для прикладу наведемо подвійну нерівність a

Тепер розберемо, як розуміти такі записи. Їх слід трактувати у згоді із змістом значень, що містяться в них. Наприклад, подвійна нерівність a

На закінчення зауважимо, що іноді зручно використовувати записи у вигляді ланцюжків, що містять одночасно як знаки однаково, так і знаки строгих і нестрогих нерівностей. Наприклад, x=2

Список літератури.

• Моро М. І.. Математика. Навч. для 1 кл. поч. шк. У 2 ч. Ч. 1. (Перше півріччя) / М. І. Моро, С. І. Волкова, С. В. Степанова. - 6-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 112 с.: Іл. + Дод. (2 відд. арк. іл.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.

У цій статті зібрано інформацію, яка формує уявлення про рівність у контексті математики. Тут ми з'ясуємо, що така рівність з математичної точки зору і які вони бувають. Також поговоримо про запис рівностей та знак рівно. Нарешті, перерахуємо основні властивості рівностей і наочності наведемо приклади.

Навігація на сторінці.

Що таке рівність?

Поняття рівності нерозривно пов'язані з порівнянням – зіставленням якостей і ознак із єдиною метою виявленням подібних характеристик. А порівняння у свою чергу передбачає наявність двох предметів чи об'єктів, один із яких порівнюється з іншим. Якщо, звичайно, не проводити порівняння предмета із самим собою, і то це можна розглядати як окремий випадок порівняння двох предметів: самого предмета та його «точної копії».

З наведених міркувань зрозуміло, що рівність не може існувати без наявності, принаймні двох об'єктів, інакше нам нічого буде порівнювати. Зрозуміло, що можна взяти три, чотири та більше об'єктів для порівняння. Але воно природним чином зводиться до порівняння різних пар, складених із цих об'єктів. Іншими словами, воно зводиться до порівняння двох об'єктів. Отже, рівність потребує два об'єкти.

Суть поняття рівності у найзагальнішому сенсі найвиразніше передається словом «однакові». Якщо взяти два однакові об'єкти, то про них можна сказати, що вони рівні. Як приклад наведемо два рівні квадрати і . Відмінні об'єкти, у свою чергу, називають нерівними.

Поняття рівності може відноситися як об'єктам загалом, так і до їх окремих властивостей та ознак. Об'єкти рівні загалом, коли вони рівні за всіма властивими їм параметрами. У попередньому прикладі ми говорили про рівність об'єктів загалом – обидва об'єкти квадрати, вони однакового розміру, однакового кольору, і взагалі вони однакові. З іншого боку, об'єкти може бути нерівними загалом, але може мати деякі рівні характеристики. Як приклад розглянемо такі об'єкти та . Вочевидь, вони рівні формою –вони обидва є колами. А за кольором та за розміром – нерівні, один із них синій, а інший – червоний, один маленький, а інший – великий.

З попереднього прикладу для себе відзначимо, що потрібно наперед знати про рівність чого саме ми говоримо.

Всі наведені міркування застосовуються і до рівностей математики, тільки тут рівність відноситься до математичних об'єктів. Тобто, вивчаючи математику, ми говоритимемо про рівність чисел, рівність значень виразів, рівність будь-яких величин, наприклад, довжин, площ, температур, продуктивностей праці тощо.

Запис рівностей, знак одно

Настав час зупинитися на правилах запису рівностей. Для цього використовується знак дорівнює(його також називають знаком рівності), який має вигляд =, тобто є дві однакові рисочки, розташовані горизонтально одна над іншою. Знак одно = вважається загальноприйнятим.

При записі рівностей записують рівні об'єкти і з-поміж них ставлять знак одно. Наприклад, запис рівних чисел 4 і 4 буде виглядати наступним чином 4=4 і її можна прочитати як «чотири дорівнює чотирьом». Ще приклад: рівність площі S ABC трикутника ABC семи квадратних метрів запишеться як S ABC = 7 м2. За аналогією можна навести інші приклади запису рівностей.

Варто зазначити, що в математиці розглянуті записи рівностей часто використовують як визначення рівності.

Ще зауважимо, що записи алгебри зі знаками не дорівнює, менше, більше, менше або рівно, більше або рівно, аналогічні розглянутим вище, називають нерівностями. Понад те, має місце визначення нерівностей у сенсі виду їх записи:

Записи, в яких використовується знак одно, що розділяє два математичні об'єкти (два числа, вирази і т.п.), називають рівностями.

Якщо письмово потрібно позначити нерівність двох об'єктів, то використовується знак не одно≠. Ми, що він є перекреслений знак одно. Як приклад наведемо запис 1+2≠7. Її можна прочитати так: «Сума одиниці та двійки не дорівнює семи». Інший приклад |AB|≠5 див. - Довжина відрізка AB не дорівнює п'яти сантиметрам.

Вірні та невірні рівності

Записані рівності можуть відповідати змісту поняття рівності, а можуть і суперечити йому. Залежно від цієї рівності поділяються на вірні рівностіі неправильні рівності. Розберемося з цим на прикладах.

Запишемо рівність 5=5. Числа 5 і 5, поза всяким сумнівом, рівні, тому 5 = 5 - це правильна рівність. І це рівність 5=2 – неправильне, оскільки числа 5 і 2 не рівні.

Властивості рівностей

З того, як вводиться поняття рівності, природно випливають характерні йому результати – властивості рівностей. Основними є три властивості рівностей:

• Властивість рефлексивності, яке стверджує, що об'єкт дорівнює самому собі.
• Властивість симетричності, стверджує, що й перший об'єкт дорівнює другому, другий дорівнює першому.
• І, нарешті, властивість транзитивності, стверджує, що й перший об'єкт дорівнює другому, а другий – третьому, перший дорівнює третьому.

Запишемо озвучені властивості мовою математики за допомогою букв:

• a = a;
• якщо a = b, то b = a;
• якщо a = b і b = c, то a = c.

Окремо варто відзначити заслугу другої та третьої властивостей рівностей – властивостей симетричності та транзитивності – у тому, що вони дозволяють говорити про рівність трьох і більшої кількості об'єктів через їхню попарну рівність.

Подвійні, потрійні рівності тощо.

Поряд із звичайними записами рівностей, приклади яких ми навели у попередніх пунктах, використовуються так звані подвійні рівності, потрійні рівностіі так далі, що являють собою ланцюжки рівностей. Наприклад, запис 1+1+1=2+1=3 є подвійною рівністю, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF|

- Приклад четвертої рівності.

За допомогою подвійних, потрійних і т.д. рівностей зручно записувати рівність трьох, чотирьох і т.д. об'єктів відповідно. Ці записи за своєю суттю позначають рівність будь-яких двох об'єктів, що становлять вихідний ланцюжок рівностей. Наприклад, зазначена вище подвійна рівність 1+1+1=2+1=3 по суті означає рівність 1+1+1=2+1 і 2+1=3 , і 1+1+1=3 , а в силу властивості симетричності рівностей і 2+1=1+1+1 і 3=2+1 і 3=1+1+1 .

Список літератури.

• Моро М. І.. Математика. Навч. для 1 кл. поч. шк. У 2 ч. Ч. 1. (Перше півріччя) / М. І. Моро, С. І. Волкова, С. В. Степанова. - 6-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 112 с.: Іл. + Дод. (2 відд. арк. іл.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.

У вигляді таких ланцюжків рівностей зручно оформляти покрокове рішення прикладів і завдань, при цьому рішення виглядає коротко і проміжні етапи перетворення вихідного виразу.

«Рівність» – це тема, яку учні проходять ще у початковій школі. Супроводжує їй також «Нерівності». Ці два поняття тісно взаємопов'язані. З іншого боку, з ними пов'язують такі терміни, як рівняння, тотожності. Отже, що таке рівність?

Поняття рівності<, >Під цим терміном розуміють висловлювання, у яких є знак «=». Рівності поділяються на вірні та невірні. Якщо в записі замість = стоїть

, Тоді йдеться про нерівності. До речі, перша ознака рівності говорить про те, що обидві частини виразу ідентичні за своїм результатом чи записом.

Крім поняття рівності, у школі вивчають також тему «Числова рівність». Під цим висловлюванням розуміють два числові вирази, які стоять по обидва боки від знака =. Наприклад, 2*5+7=17. Обидві частини запису рівні між собою.

1. У числових виразах такого типу можуть використовуватися дужки, що впливають порядок дій. Отже, існує чотири правила, які слід врахувати при обчисленні результатів числових виразів.
2. Якщо в записі немає дужок, тоді дії виконуються з вищого ступеня: III→II→I. Якщо є кілька дій однієї категорії, вони виконуються зліва направо.
3. Якщо в записі є дужки, тоді дія виконується у дужках, а потім з урахуванням щаблів. Можливо, у дужках буде кілька дій.
4. Якщо вираз представлено у вигляді дробу, тоді потрібно обчислювати спочатку чисельник, потім знаменник, потім чисельник ділиться на знаменник.

Отже, тепер зрозуміло, що така рівність. Надалі будуть розглянуті поняття рівняння, тотожності та способи їх обчислення.

Властивості числових рівностей

Що таке рівність? Вивчення цього поняття потребує знання властивостей числових тотожностей. Наведені нижче текстові формули дозволяють краще вивчити цю тему. Звичайно, ці властивості більше підходять для вивчення математики у старших класах.

1. Числова рівність не буде порушена, якщо в обох її частинах додати те саме число до існуючого виразу.

А = В↔ А + 5 = В + 5

2. Не буде порушено рівняння, якщо обидві його частини помножити або розділити на те саме число або вираз, які відмінні від нуля.

Р = О↔ Р ∙ 5 = О ∙ 5

Р = О↔ Р: 5 = В: 5

3. Додавши до обох частин тотожності однакову функцію, яка має сенс за будь-яких допустимих значень змінної, ми отримаємо нову рівність, рівносильну початковому.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) + R(X) =Ψ (X) + R(X)

4. Будь-яке доданок чи вираз можна перенести з іншого боку знака рівності, у своїй треба поміняти знаки на протилежні.

Х + 5 = У - 20 ↔ Х = У - 20 - 5 ↔ Х = У - 25

5. Помноживши або розділивши обидві частини рівняння на ту саму функцію, відмінну від нуля і що має сенс для кожного значення Х з ОДЗ, ми отримаємо нове рівняння, рівносильне початковому.

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) ∙R(X) = Ψ(X) ∙R(X)

F(X) = Ψ(X)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : G(X)

Наведені правила явно вказують на принцип рівності, який існує за певних умов.

Поняття пропорції

У математиці існує таке поняття, як рівність стосунків. І тут мається на увазі визначення пропорції. Якщо розділити А на В, то результатом буде відношення числа А до В. Пропорцією називають рівність двох відносин:

Іноді пропорція записується так: A:B =C:D.Звідси випливає основна властивість пропорції: A *D =D *C, де A і D - крайні члени пропорції, а і С - середні.

Тотожності

Тотожністю називають рівність, яка буде правильно при всіх допустимих значеннях тих змінних, які входять у завдання. Тотожності можуть бути представлені як буквені або числові рівності.

Тотожно рівними називаються вирази, що містять в обох частинах рівності невідому змінну, яка здатна прирівняти дві частини одного цілого.

Якщо проводити заміни одного виразу іншим, яке дорівнюватиме йому, тоді йдеться про тотожне перетворення. І тут можна скористатися формулами скороченого множення, законами арифметики та інші тотожностями.

Щоб скоротити дріб, потрібно провести тотожні перетворення. Наприклад, дано дріб. Щоб отримати результат, слід скористатися формулами скороченого множення, розкладанням на множники, спрощенням виразів та скороченням дробів.

При цьому варто врахувати, що даний вираз буде тотожним тоді, коли знаменник не дорівнюватиме 3.

5 способів довести тотожність

Щоб довести рівність тотожну, потрібно провести перетворення виразів.

I спосіб

Необхідно провести рівносильні перетворення у лівій частині. У результаті виходить права частина, і можна говорити, що тотожність доведено.

II спосіб

Усі дії з перетворення вираження відбуваються у правій частині. Підсумком виконаних маніпуляцій є ліва частина. Якщо обидві частини ідентичні, то тотожність доведена.

III спосіб

"Трансформації" відбуваються в обох частинах висловлювання. Якщо в результаті вийдуть дві ідентичні частини, тотожність доведена.

IV спосіб

З лівої частини віднімається права. В результаті рівносильних перетворень має вийти нуль. Тоді можна говорити про тотожність вираження.

V спосіб

З правої частини віднімається ліва. Усі рівносильні перетворення зводяться до того що, щоб у відповіді стояв нуль. Тільки в такому випадку можна говорити про тотожність рівності.

Основні властивості тотожностей

У математиці часто використовують властивості рівностей, щоб прискорити процес обчислення. Завдяки основним тожествам алгебри процес обчислення деяких виразів займе лічені хвилини замість довгих годин.

• Х + У = У + Х
• Х + (У + С) = (Х + У) + С
• Х + 0 = Х
• Х + (-Х) = 0
• Х ∙ (У + С) = Х∙У + Х∙С
• Х ∙ (У – С) = Х∙У – Х∙С
• (Х + У) ∙ (З + Е) = Х ∙ С + Х ∙ Е + У ∙ С + У ∙ Е
• Х + (У + С) = Х + У + С
• Х + (У – С) = Х + У – С
• Х - (У + С) = Х - У - С
• Х - (У - С) = Х - У + С
• Х ∙ У = У ∙ Х
• Х ∙ (У ∙ С) = (Х ∙ У) ∙ С
• Х ∙ 1 = Х
• Х ∙ 1/Х = 1, де Х ≠ 0

Формули скороченого множення

По суті формули скороченого множення є рівностями. Вони допомагають вирішити безліч завдань у математиці завдяки своїй простоті та легкості у користуванні.

• (А + В) 2 = А 2 + 2 · А · В + В 2 - квадрат суми пари чисел;

• (А - В) 2 = А 2 - 2 · А · В + В 2 - квадрат різниці пари чисел;

• (С + В) ∙ (С - В) = С 2 - В 2 - Різниця квадратів;

• (А + В) 3 = А 3 + 3 · А 2 · В + 3 · А · В 2 + В 3 - куб суми;

• (А - В) 3 = А 3 - 3 · А 2 · В + 3 · А · В 2 - В 3 - куб різниці;

• (Р + В) ∙ (Р 2 - Р ∙ В + В 2) = Р 3 + В 3 - сума кубів;

• (Р - В) ∙ (Р 2 + Р ∙ В + В 2) = Р 3 - В 3 - різниця кубів.

Формули скороченого множення найчастіше застосовуються, якщо необхідно привести багаточлен до звичного вигляду, спростивши його всіма можливими способами. Подані формули доводяться просто: достатньо розкрити дужки та навести подібні доданки.

Рівняння

Після вивчення питання, що така рівність, можна приступати до наступного пункту: Під рівнянням розуміється рівність, де присутні невідомі величини. Рішенням рівняння називають знаходження всіх значень змінної, у яких обидві частини всього виразу дорівнюватимуть. Також зустрічаються завдання, у яких знаходження рішень рівняння неможливе. У такому разі кажуть, що коріння немає.

Як правило, рівності з невідомими як рішення видають цілі числа. Однак можливі випадки, коли коренем є вектор, функція та інші об'єкти.

Рівняння одна із найважливіших понять у математиці. Більшість наукових і практичних завдань неможливо виміряти чи обчислити якусь величину. Тому необхідно складати співвідношення, яке задовольнить усі умови поставленого завдання. У процесі складання такого співвідношення утворюється рівняння чи система рівнянь.

Зазвичай рішення рівності з невідомим зводиться до перетворення складного рівняння та зведення його до простих форм. Необхідно пам'ятати, що перетворення потрібно проводити щодо обох частин, інакше на виході вийде неправильний результат.

4 способи вирішити рівняння

Під рішенням рівняння розуміють заміну заданої рівності іншим, яка рівносильна першому. Подібна заміна відома як тотожне перетворення. Щоб вирішити рівняння, необхідно скористатися одним із способів.

1. Один вираз замінюється іншим, яке обов'язково буде тотожно першому. Приклад: (3∙х+3) 2 =15∙х+10. Цей вираз можна перетворити на 9∙х 2 +18∙х+9=15∙х+10.

2. Перенесення членів рівності з невідомим з одного боку до іншого. У такому разі необхідно правильно міняти знаки. Найменша помилка згубить всю виконану роботу. Як приклад візьмемо попередній «зразок».

9∙х 2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10

9∙х 2 + 12∙х + 4 - 15∙х - 10 = 0

3. Перемноження обох частин рівності на рівне число або вираз, які не дорівнюють 0. Однак варто нагадати, що якщо нове рівняння не буде рівносильним рівності до перетворень, тоді кількість коренів може суттєво змінитись.

4. Зведення у квадрат обох частин рівняння. Цей спосіб просто чудовий, особливо коли в рівності є ірраціональні вирази, тобто вираз під ним. Тут є один нюанс: якщо звести рівняння у парний ступінь, тоді може з'явитися стороннє коріння, яке спотворить суть завдання. І якщо неправильно витягти корінь, тоді сенс питання в задачі буде незрозумілий. Приклад: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 і 2) - 7∙х = 35 → рівняння буде вирішено правильно.

Отже, у цій статті згадуються такі терміни, як то рівняння та тотожності. Усі вони походять від поняття «рівність». Завдяки різного роду рівносильним виразам вирішення деяких завдань значною мірою полегшено.

РІВНОСТІ З КІЛЬКОСТЯМИ.

Після того, як дитина познайомиться з картками-кількома від 1 до 20, Ви можете додати до першого етапу навчання другий етап - рівності з кількостями.

Що таке рівність? Це арифметична дія та її результат.

Ви починаєте цей етап навчання з теми «Складання».

Додавання.

До показу двох наборів карток-кількостей Ви додаєте рівності до додавання.

Навчити цю операцію дуже легко. Фактично Ваша дитина вже кілька тижнів готова до цього. Адже щоразу, коли Ви показуєте йому нову картку, він бачить, що у ній з'явилася одна додаткова точка.

Маля ще не знає, як це називається, але вже має уявлення про те, що це таке і як воно діє.

Матеріал для прикладів додавання у Вас вже є на звороті кожної картки.

Технологія показу рівностей виглядає приблизно так: Ви хочете дати дитині рівність: 1+2=3. Як її можна показати?

Перед початком уроку покладіть собі на коліна лицьовою стороною донизу, одна на одну, три картки. Піднімаючи верхню картку з однією спицею-кісткою, говоріть "один",потім відкладаєте її, говоріть «плюс»,показуєте картку з двома кісточками, вимовляйте "два",відкладаєте її і після слова «буде»,показуєте картку з трьома кісточками, вимовляючи "три".

В день Ви проводите три заняття з рівностями і на кожному занятті показуєте три різні рівністі. У день малюк бачить дев'ять різних рівностей.

Дитина без жодних пояснень розуміє, що означає слово «плюс»,його значення він сам виводить із контексту. Виконуючи дії, Ви тим самим швидше за будь-які пояснення демонструєте справжній зміст додавання. Розповідаючи про рівність, завжди дотримуйтесь однієї й тієї ж манери викладу, використовуючи одні й самі терміни. Сказавши «Один плюс два буде три»,не говоріть потім «До одного додати два буде три».Коли Ви вчите дитині фактам, вона сама робить висновки і осягає правила. Якщо Ви змінюєте терміни, то дитина має всі підстави думати, що правила теж змінилися.

Заздалегідь готуйте всі картки, необхідних тієї чи іншої рівності. Не думайте, що Ваша дитина буде спокійно сидіти і дивитися, як Ви копатиметеся в стопці карток, підбираючи потрібні. Він просто втече і матиме рацію, оскільки його час коштує не менше Вашого.

Намагайтеся не складати рівності, які мали щось спільне і дозволяли дитині передбачати їх заздалегідь (такі рівності можна буде використовувати пізніше). Ось приклад таких рівностей:

Набагато краще використовувати такі:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Дитина має побачити математичну суть, у неї виробляються математичні навички та уявлення. Приблизно за два тижні малюк робить відкриття, що таке додавання: адже за цей час Ви показали йому 126 різних рівностей на додавання.

Перевірка.

Перевірка цьому етапі є рішення прикладів.

Чим відрізняється приклад від рівності?
Рівність - це дія з наведеним дитині результатом.

Приклад – це дія, яку треба виконати. У нашому випадку Ви показуєте дитині дві відповіді, а вона вибирає правильну, тобто. вирішує приклад.

Приклад Ви можете викласти після звичайного заняття із трьома рівностями на додавання. Приклад Ви показуєте так само, як раніше демонстрували рівність. Тобто перекладаєте картки до рук, промовляючи кожну вголос. Наприклад, «двадцять плюс десять буде тридцять чи сорок п'ять?» та показуєте малюкові дві картки, одна з яких з правильною відповіддю.

Картки з відповідями потрібно тримати на однаковій відстані від очей малюка і не допускати жодних дій, що підказують.

При правильному виборі дитини Ви бурхливо виражаєте своє захоплення, цілуєте та хвалите його.

При помилковому виборі відповіді, не висловлюючи прикрості, Ви підсуваєте до малюка картку з правильною відповіддю і запитуєте: «Буде тридцять, чи не так?». На подібне запитання дитина зазвичай відповідає ствердно. Обов'язково похваліть дитину за цю правильну відповідь.

Ну а якщо з десяти прикладів Ваше маля правильно вирішує хоча б шість, значить, Вам точно час переходити до рівностей на віднімання!

Якщо Ви не вважаєте за потрібне перевіряти дитину (і правильно!), то через 10-14 днів все одно переходьте до рівностей на віднімання!

Розглянемо -Віднімання.

Ви перестаєте займатися складанням і повністю переключаєтеся на віднімання. Проводьте по три щоденні уроки з трьома різними рівностями у кожному.

Озвучуєте рівності на віднімання так: «Дванадцять мінус сім буде п'ять».

При цьому Ви одночасно продовжуєте показувати картки-кількості (два набори, по п'ять карток у кожному) теж тричі на день. У вас буде дев'ять щоденних дуже коротких уроків. Так Ви працюєте не більше двох тижнів.

Перевірка

Перевірка так само, як і у випадку зі складанням, може бути рішенням прикладів з вибором однієї відповіді з двох.

Розглянемо-множення.

Множення - це не що інше, як багаторазове додавання, так що ця дія не стане великим відкриттям для Вашої дитини. Оскільки Ви продовжуєте вивчення карток-кількостей (два набори по п'ять карток у кожному), Ви маєте можливість складання рівностей на множення.

Озвучуєте рівності на множення так: "Два помножити на три буде шість".

Дитина зрозуміє слово «помножити»так само швидко, як він зрозумів до цього слова «плюс»і "мінус".

Ви, як і раніше, проводите в день по три уроки, у кожному з яких - по три різні рівні на множення. Така робота триває трохи більше двох тижнів.

Продовжуйте уникати передбачуваних рівностей. Наприклад таких, як:

Необхідно постійно тримати свою дитину в стані подиву та очікування чогось нового. Головним для нього має стати питання: "Що далі?"-і на кожному занятті він повинен отримувати на нього нову відповідь.

Перевірка

Рішення прикладів Ви проводите так само, як у темі «Складання» та «Віднімання». Якщо малюку сподобалися ігри-перевіря-лочки з картками-кількістю, Ви можете продовжувати грати в них, повторюючи таким чином нові, великі кількості.

Дотримуючись запропонованої нами схеми, Ви вже можете завершити перший етап навчання математики - вивчіть кількості в межах 100. Тепер настав час познайомитися з карткою, яка найбільше подобається дітям.

Розглянемо-поняття нуля.

Говорять, що математики вже п'ятсот років вивчають ідею нуля. Правда це чи ні, але діти, щойно пізнавши ідею кількості, тут же розуміють і зміст його повної відсутності. Вони просто обожнюють нуль, і Ваша подорож у світ чисел буде неповною, якщо Ви не покажете малюкові картку, на якій взагалі не буде жодних точок (тобто це абсолютно порожня картка).

Щоб знайомство малюка з нулем пройшло весело та цікаво, можна супроводжувати показ картки загадкою:

Вдома – семеро білченят, На тарілці – сім опеньків. Усі грибочки з'їли білки. Що лишилося на тарілці?

Вимовляючи останню фразу, показуємо картку "нуль".

Ви використовуватимете її практично щодня. Вона стане Вам у нагоді для операцій складання, віднімання та множення.

Працювати з карткою "нуль" Ви можете один тиждень. Цю тему дитина освоює швидко. Як і раніше, протягом дня Ви проводите три заняття. На кожному занятті Ви показуєте малюкові по три різні рівністі на додавання, віднімання та множення з нулем. У вас вийде дев'ять рівностей на день.

Перевірка

Рішення прикладів з нулем відбувається за знайомою Вам схемою.

Розглянемо -Поділ.

Коли Ви пройшли всі картки-кількості від 0 до 100, у Вас є весь необхідний матеріал для прикладів поділу з кількостями.

Технологія показу рівностей цієї теми колишня. Щодня Ви проводите три заняття. На кожному занятті Ви показуєте дитині по три різні рівністі. Добре, якщо проходження цього матеріалу не перевищуватиме двох тижнів.

Перевірка

Перевірка є рішенням прикладів з вибором однієї відповіді з двох.

Коли Ви пройшли всі кількості та знайомі з чотирма правилами арифметики, то можете всіляко урізноманітнити та ускладнити свої заняття. Для початку покажіть рівності, де використовується одна арифметична дія: лише додавання, віднімання, множення або поділ.

Потім - рівності, де поєднуються додавання і віднімання або множення та поділ:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Щоб не заплутатись у картках, Ви можете змінити спосіб проведення занять. Тепер не обов'язково показувати кожну картку спиць-кістяшок, можна показувати лише відповідь, а самі дії лише промовляти. В результаті Ваші заняття стануть коротшими. Ви просто кажете дитині: "Двадцять два розділити на одинадцять, розділити на два буде один",- і показуєте картку «один».

У цій темі можна використовувати рівність, між якими є якась закономірність.

Наприклад:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

При поєднанні рівності чотирьох арифметичних дій, пам'ятайте, що множення і поділ мають бути винесені на початок рівності:

Не бійтеся демонструвати рівності, яких більше ста, наприклад,

проміжний результат у

42 * 3 - 36 = 90,

де проміжний результат дорівнює 126 (42 * 3 = 126)

Ваш малюк чудово з ними впорається!

Перевірка є рішенням прикладів з вибором однієї відповіді з двох. Ви можете продемонструвати приклад, показавши всі картки рівності та дві картки для вибору відповіді або просто проговорити всю рівність, показавши малюкові лише дві картки для відповіді.

Пам'ятайте! Чим довше Ви займаєтесь, тим швидше потрібно вводити нові теми. Як тільки Ви помітили перші ознаки неуважності дитини чи нудьги – переходьте до нової теми. Через деякий час Ви можете повернутися до попередньої теми (але для знайомства з ще не показаними рівностями).

Послідовності

Послідовності - це самі рівністі. Досвід роботи батьків із цією темою показав, що послідовності дітям дуже цікаві.

Послідовності на плюс - це послідовності, що зростають. Послідовності на мінус – спадні.

Чим різноманітнішими будуть послідовності, тим вони цікавіші малюкові.

Наведемо кілька прикладів послідовностей:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Технологіяпоказу послідовностей може бути такою. Ви підготували три послідовності плюс.

Оголошуєте малюку тему уроку, на підлозі викладаєте одну за одною картки першої послідовності, озвучуючи їх.

Переміщаєтеся з дитиною в інший кут кімнати і так само викладаєте другу послідовність.

У третьому кутку кімнати Ви викладаєте третю послідовність, озвучуючи її.

Викладати послідовності можна один під одним, залишаючи між ними проміжки.

Намагайтеся завжди йти вперед, рухаючись від простого до складного. Варіювати заняття: іноді вимовляючи вголос те, що ви показуєте, а іноді показуйте картки мовчки. У будь-якому випадку дитина бачить розгорнуту перед нею послідовність.

Для кожної послідовності потрібно використовувати не менше шести карток, іноді більше, щоб дитині легше було визначити сам принцип послідовності.

Як тільки Ви побачили блиск в очах дитини, спробуйте додати до трьох послідовностей приклад (тобто перевірте його знання).

Приклад показуєте так: спочатку викладаєте всю послідовність, як Ви зазвичай це робите, а в кінці піднімаєте дві картки (одна картка - та, яка йде наступною в послідовності, а інша - випадкова) і запитуєте дитину: "Яка наступна?"

Спочатку картки в послідовностях викладайте один за одним, потім форми викладання можна змінювати: кладіть картки по колу, по периметру кімнати і т.д.

Коли виходитиме все краще і краще, не бійтеся використовувати в послідовностях множення та розподіл.

Приклади послідовностей:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - у цій послідовності кожне наступне число збільшується на 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - в даній послідовності чергується множення та додавання (х 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - у цій послідовності кожне наступне число збільшується в 2 рази;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - у цій послідовності кожне наступне число зменшується на 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - в даній послідовності чергується розподіл та віднімання (: 2; - 2);

Знаки «більше», «менше»

Ці картки знаходяться у складі 110 карток цифр та знаків (друга складова методики АНАСТА).

Уроки знайомства малюка з поняттями «більше-менше» будуть дуже короткими. Все, що Вам потрібно, це показати три картки.

Технологія показу

Сідайте на підлогу і викладаєте кожну картку перед дитиною так, щоб вона могла бачити відразу всі три картки. Кожну картку називаєте.

Озвучити можна так: «шість більше трьох»або "шість більше, ніж три".

На кожному занятті Ви показуєте дитині по три різні варіанти нерівностей з

картками «більше» – «менше». нерівностей на день.

Таким чином, Ви демонструєте дев'ять різних

Як і раніше, Ви показуєте кожну нерівність лише один раз.

За кілька днів до трьох показів можна додати приклад. Це вже перевірка,і проводиться вона так:

Покладіть на підлогу заздалегідь приготовані картки, наприклад, картку з кількістю «68» і картку зі знаком «більше». Запитайте малюка: «Шістдесят вісім більше якого числа?»або «Шістдесят вісім більше п'ятдесяти чи дев'яносто п'ять?». Запропонуйте дитині вибрати із двох карток потрібну. Правильно вказану малюком картку, Ви (або він сам) кладете після знаку «більше».

Можна покласти перед дитиною дві картки з кількостями та дати їй можливість вибрати знак, який підходить, тобто > або<.

Рівності та нерівності

Навчити рівності і нерівності так само просто, як і поняття «більше» і «менше».

Вам знадобляться шість карток із арифметичними знаками. Їх Ви також знайдете у складі 110 карток цифр та знаків (друга складова методики АНАСТА).

Технологія показу

Ви вирішили показати дитині такі дві нерівності та одну рівність:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Ви викладаєте їх на підлозі послідовно так, щоб дитина могла бачити відразу кожне з них. При цьому Ви все промовляєте, наприклад: "Вісім мінус шість не дорівнює десять мінус сім".

Так само Ви промовляєте під час викладання рівність і нерівність, що залишилися.

На початковому етапі навчання цій темі викладаються всі картки.

Потім можна буде показувати лише картки «рівно» та «не рівно».

Одного дня Ви даєте можливість малюкові показати свої знання. Викладаєте картки з кількостями, а йому пропонуєте вибрати, картку з яким знаком треба покласти: "рівно" або "не рівно".

Перш, ніж почати вивчати алгебру з малюком, треба познайомити його з поняттям змінної величини, представленої буквою.

Зазвичай у математиці використовується буква x, але оскільки її легко сплутати зі знаком множення, рекомендується використовувати y.

Ви кладете спочатку картку з п'ятьма намистинками — кісточок, потім знак +плюс (+), після нього зі знаком y, потім знак рівності і, нарешті, картку з сімома намистинками-кісточками. Потім ви ставите питання: «Що означає тут?»

І самі відповідаєте на нього: "У цьому рівнянні означає два"

Перевірка:

Приблизно через один - півтора тижні занять на даному етапі, Ви можете дати можливість малюкові вибрати відповідь.

ЧЕТВЕРТИЙ ЕТАП РІВНОСТІ З ЦИФРАМИ І КІЛЬКОСТЯМИ

Коли ви пройшли цифри від 1 до 20, настав час для «наведення мостів» між цифрами та кількостями. Для цього є багато способів. Одним із найпростіших є використання рівностей та нерівностей, відносин «більше» і «менше», що демонструються за допомогою карток з цифрами та кісточками.

Технологія показу.

Візьміть картку з цифрою 12, покладіть її на підлогу, потім покладіть поруч із нею знак «більше», а потім картку-кількість 10, промовляючи при цьому: «Дванадцять більше десяти».

Нерівності (рівності) можуть виглядати так:

Кожен (рівностей) день складається з трьох занять, а кожне заняття - з трьох нерівностей кількостями та цифрами. Загальна кількість щоденних рівностей дорівнюватиме дев'яти. При цьому Ви одночасно продовжуєте вивчати цифри за допомогою двох наборів по п'ять карток у кожному, теж тричі на день.

Перевірка.

Можна надавати дитині можливість вибору карток «більше», «менше», «рівно» або складати приклад таким чином, щоб малюк сам міг його закінчити. Наприклад, кладемо картку-кількість 7, потім знак «більше» і надаємо дитині можливість закінчити приклад, тобто вибрати картку-кількість, наприклад, 9 або картку-цифру, наприклад, 5.

Після того, як малюк зрозумів зв'язок між кількостями та цифрами, можна приступати до вирішення рівностей, використовуючи картки як із цифрами, так і з кількостями.

Рівності з цифрами та кількостями.

Використовуючи картки з цифрами та кількостями, Ви проходите вже знайомі теми: додавання, віднімання, множення, розподіл, послідовності, рівності та нерівності, дроби, рівняння, рівності у дві та більше дій.

Якщо Ви уважно подивіться зразкову схему навчання математики, (стор. 20) то побачите, що кінця занять немає. Вигадуйте свої приклади для розвитку усного рахунку дитини, співвідносите кількості з реальними предметами (горіхи, ложки для гостей, шматочки порізаного банана, хліба тощо) - словом, дерзайте, робіть, вигадуйте, спробуйте! І у Вас все вийде!